Question

Respecto a un sistema de referencia , el movimiento de una pelota viene determinado por la ecuación r=2ti+(3t2+2)j en unidades del SI.
Determina :
A. El vector de posición inicial.
B. La posición en el instante t =3s.
C. La ecuación de la trayectoria.
D. El vector desplazamiento que corresponde al intervalo de tiempo transcurrido entre el instante inicial y t = 3s , asi como su módulo . ¿ Es esa la distancia recorrida realmente por el objeto ?

Answer 1

Escribimos el vector posición de la siguiente forma:

x = 2 t
y = 3 t² + 2

a) Posición inicial: t = 0

x = 0
y = 2; posición: Po(0, 2)

b) Para t = 3 s:

x = 2 . 3 = 6
y = 3 . 3² + 2 = 29; posición: P(6, 29)

c) Debemos eliminar el tiempo entre las dos ecuaciones

t = x / 2; reemplazamos en y

y = 3 (x/2)² + 2 = 3/4 x² + 2 (parábola)

d) El vector desplazamiento es D = (6, 29) - (2, 0) = (4, 29)

El módulo del desplazamiento es |D| = √(4² + 29²) = 29,3

La distancia recorrida es la longitud del arco de parábola correspondiente a t = 0 hasta t = 3. Su valor debe hallarse mediante el cálculo integral.

La distancia recorrida es mayor que el módulo del vector desplazamiento.

Se adjunta gráfico de la trayectoria. La línea recta mide 29,3

La longitud del arco de parábola es la distancia recorrida

Su longitud es L = ∫[√(x'² + y'²) dt, entre 0 y 3]

x' = 2; y' = 6 t; L = ∫[√(4 + 36 t²) dt, entre 0 y 3] = 28,1

La integral ha sido resuelta mediante el uso de tablas.

Saludos Herminio