Question

Resolver: tan(π/4 – x)= cos2x
dar como respuesta la suma de las soluciones comprendidas en [ 0;2π>

Answer 1

tan(π/4 – x)= cos2x

( tan(π/4) – tanx)/(1 + tan(π/4)×tanx ) = cos2x

(1 - tanx)/(1 + tanx) = cos2x

(cosx - senx)/(cosx + senx) = cos2x

(cos²x - sen²x)/(cosx + senx)² = cos2x

cos2x/((cos²x + sen²x) + 2senxcosx)) = cos2x

1/(1 + sen2x) = 1

1 =1 + sen2x

0 = sen2x    ⇔      2x = nΠ   con  n∈Z    ⇒    x= nΠ/2

soluciones dentro de [0;2Π]  

x₁ = 0 con n=0 , x₂= Π/2 con n=1 , x₃= Π con n=2 , x₄= 3Π/2 con n=3 ,

x₅= 2Π con n=4

suma de soluciones tal que  x∈[0;2Π]

Y= x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅

Y= 0 + Π/2 + Π + 3Π/2 + 2Π

Y= Π( 1/2 + 1 + 3/2 + 2)

Y= 5Π

en caso que el intervalo sea [0;2Π)

x₁ = 0 con n=0 , x₂= Π/2 con n=1 , x₃= Π con n=2 , x₄= 3Π/2 con n=3

suma de soluciones tal que  x∈[0;2Π) sera

Y= x₁ + x₂ + x₃ + x₄

Y= 0 + Π/2 + Π + 3Π/2

Y=Π( 1/2 + 1 + 3/2)

Y=3Π

Aclaro esto ultimo porque [0;2Π> no tiene sentido debido al signo >