Question

Resolver sobre método de Newton.. f(x)=x^2-3x-4 calcular la raíz que tenga una mayor aproximacion a dicha función, considerando que x1 = 8

Answer 1

Las raíces del polinomio son x= -1 y x= 4, y el error con 5 iteraciones es de 0.00001154

Para  poder determinar estas raíces mediante el método debemos recordar que este se basa en lo siguiente:

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Donde x_n es la aproximación enésima , si calculamos la derivada de f, nos da f(x)=x² -3x -4, f'(x)=2x -3

x - f(x)/f'(x)= x - (x² -3x -4)/(2x-3)= (2x²-3x - x² + 3x + 4)/(2x-3)= (x²+4)/(2x-3)

Por lo que la fórmula iterativa es

$x_{n+1} = \frac{x_n^2 + 4}{2x_n - 3}$

Comenzamos con

$x_1 = 8\\x_2 = \frac{x_1^2+4}{2x_1-3} = \frac{64+4}{16-3} = \frac{68}{13} \approx 5.2307\\\\x_3 = \frac{(5.2307)^2 + 4}{2*5.2307 - 3} \approx 4.2029\\\\x_4= \frac{(4.2029)^2 + 4}{2*4.2029-3} \approx 4.00761\\\\x_5 = \frac{4.00761^2 + 4}{2*4.00761-3} \approx 4.00001$

Vemos que con 5 iteraciones logramos un error de 0.00001154, lo que nos da una cierta confidencia. Las raíces exactas se pueden hallar usando la fórmula general de segundo grado