Question

resolver por método de series de potencias para ecuaciones diferenciales

. y''-9y=0

Answer 1

Mediante el método de series de potencias se obtuvo:

$y=C_{0}cos(3x)+\frac{C_{1}}{2}sen(3x)$

1. Nos piden hallar: $y''-9y=0$ ...(1)

Considerar la forma:

$y=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^2+c_{3}x^3 ...$

esto es:

$y=\sum^a_{n=0} {c_{n}x^n}$ ... (2)

Considera a = ∞

Sacamos la primera derivada:

$y'=\sum^a_{n=1} {nc_{n}x^{n-1}}$

Sacamos la segunda derivada:

$y''=\sum^a_{n=2} {n(n-1)c_{n}x^{n-2}}$ ...(3)

2. Reemplazamos (2) y (3) en (1)

$\sum^a_{n=2} {n(n-1)c_{n}x^{n-2}}-9\sum^a_{n=0} {c_{n}x^n}=0\\\\\sum^a_{n=2} {n(n-1)c_{n}x^{n-2}}-\sum^a_{n=0} {9c_{n}x^n}=0$

3. Ahora trataremos de igualar las potencias al mayor exponente, en este caso "n". Aplicaremos la siguiente propiedad:

$\sum^a_{n=k}{f(n)}=\sum^a_{n=0}{f(n+k)}$

Por lo tanto tenemos:

$\sum^a_{n=0} {(n+2)(n+2-1)c_{n+2}x^{n+2-2}}-\sum^a_{n=0} {9c_{n}x^n}=0\\\\\sum^a_{n=0} {(n+2)(n+1)c_{n+2}x^{n}}-\sum^a_{n=0} {9c_{n}x^n}=0\\\\\sum^a_{n=0} {[(n+2)(n+1)c_{n+2}}-9c_{n}]x^n}=0$

4. Igualamos el coeficiente general a 0

$(n+2)(n+1)c_{n+2}-9c_{n}=0$

Despejamos $c_{n+2}$

$c_{n+2}=\frac{9c_{n}}{(n+2)(n+1)}$ ...(4)

5. Empezamos a analizar 4 dando valores a "n"

$n=0,c_{2}=\frac{9c_{0}}{(0+2)(0+1)}=\frac{9}{2}c_{0}$ ...(5)

$n=1,c_{3}=\frac{9c_{1}}{(1+2)(1+1)}=\frac{9}{3.2}c_{1}$ ...(6)

$n=2,c_{4}=\frac{9c_{2}}{(2+2)(2+1)}=\frac{9}{4.3}c_{2}$

Reemplazamos el $c_{2}$ de (5)

$c_{4}=\frac{9}{4.3}(\frac{9}{2}c_{0})=\frac{9^2}{4.3.2}c_{0}$

$n=3,c_{5}=\frac{9c_{3}}{(3+2)(3+1)}=\frac{9}{5.4}c_{3}$

Reemplazamos el $c_{3}$ de (6)

$c_{5}=\frac{9}{5.4}(\frac{9}{3.2}c_{1})=\frac{9^2}{5.4.3.2}c_{1}$

6. Del paso anterior se observa la regla general para los coeficientes: En el denominador se observa la función FACTORIAL.

$n=1,\frac{9}{3.2}c_{1}=\frac{9}{3!}c_{1}  \\\\n=2,\frac{9^2}{4.3.2}c_{0}=\frac{9^2}{4!}c_{0}\\\\n=3,\frac{9^2}{5.4.3.2}c_{1}=\frac{9^2}{5!}c_{1}$

Podemos deducir el resto de coeficientes:

$c_{6}=\frac{9^3}{6!}c_{0} \\\\c_{7}=\frac{9^3}{7!}c_{1}\\\\c_{8}=\frac{9^4}{8!}c_{0}\\\\c_{9}=\frac{9^4}{9!}c_{1}$

7. Tenemos la estructura inicial:

$y=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^2+c_{3}x^3 ...$

Donde sustituimos los coeficientes encontrados en el paso anterior:

$y=c_{0}+c_{1}x+\frac{9}{2}c_{0}x^2+ \frac{9}{3!}c_{1}x^3+\frac{9^2}{4!}c_{0}x^4+\frac{9^2}{5!}c_{1}x^5+\\\\\frac{9^3}{6!}c_{0}x^6+\frac{9^3}{7!}c_{1}x^7+\frac{9^4}{8!}c_{0}x^8+\frac{9^4}{9!}c_{1}x^9+...$

Agrupamos, todos los c0 a la izquierda y c1 a la derecho para factorizar:

$y=c_{0}(1+\frac{9}{2}x^2+\frac{9^2}{4!}x^4+\frac{9^3}{6!}x^6+\frac{9^4}{8!}x^8+...)+\\\\c_{1}(1+\frac{9}{3!}x^3+\frac{9^2}{5!}x^5+\frac{9^3}{7!}x^7+\frac{9^4}{9!}x^9+...)$

8. La expresión anterior la convertimos a sumatoria:

$y=c_{0}\sum^a_{n=0}\frac{9^nx^{2n}}{(2n)!}+c_{1}\sum^a_{n=0}\frac{9^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\\  \\y=c_{0}\sum^a_{n=0}\frac{(3^2)^nx^{2n}}{(2n)!}+c_{1}\sum^a_{n=0}\frac{(3^2)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\\\\y=c_{0}\sum^a_{n=0}\frac{3^{2n}x^{2n}}{(2n)!}+c_{1}\sum^a_{n=0}\frac{3^{2n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\\\y=c_{0}\sum^a_{n=0}\frac{3^{2n}x^{2n}}{(2n)!}+\frac{c_{1}}{2} \sum^a_{n=0}\frac{3^{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$y=c_{0}\sum^a_{n=0}\frac{(3x)^{2n}}{(2n)!}+\frac{c_{1}}{2} \sum^a_{n=0}\frac{(3x)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

9. Observamos que las expresiones halladas en el paso anterior, se parecen a:

$cosh(x)=\sum^a_{n=0}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\  \\senh(x)=\sum^a_{n=0}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Por lo tanto

$y=c_{0}cosh(3x)+\frac{c_{1}}{2}senh(3x)$