Question

resolver los siguientes ejercicios de trigonometria. expresarlos en grados
a) 4-seno de alfa=4 cos al cuadrado de alfa.
b) sen cuadrado de alfa +cos de alfa+1=0.
c) 5-5 cos de alfa=3 sen al cuadrado de alfa.
d) 8 tang de alfa =3 cos de alfa.
e) sen al cuadrado de alfa+5 cos cuadrado de alfa=3.
f) 1- cos cuadrado de alfa=-2 sen de alfa cos de alfa.
g)3 cot de alfa= tang de alfa.
h)2 tang al cuadrado de alfa+3 secante de alfa=0.
i) 2 raiz de 3 cos cuadrado de alfa = sen de alfa.

Answer 1

En todos los items se usan identidades trigonométricas para expresar las ecuaciones en términos de una sola expresión trigonométrica y se aplican técnicas de factorización para ecuaciones de segundo grado. Especificamente, factores comunes, binomios con términos semejantes, diferencias de cuadrados y la resolvente o fórmula general de solución de la ecuación de segundo grado.

Explicación paso a paso:

a.    4  -  Sen(x)  =  4Cos²(x)  

Expresemos todo en Sen(x)

4  -  Sen(x)  =  4Cos²(x)      ⇒      4  -  Sen(x)  =  4[1  -  Sen²(x)]      ⇒

Apliquemos la técnica de factor común e igualación de los factores a cero para obtención de las raíces:

4Sen²(x)  -  Sen(x)  =  0        ⇒        Sen(x)[4Sen(x)  -  1]  =  0

Por tanto  

Sen(x)  =  0    ∨    Sen(x)  =  1/4

Las raíces son:    x  =  0°       ∧      x  =   14,5°  

b.    Sen²(x)  +  Cos(x)  +  1  =  0  

Expresemos todo en Cos(x)

Sen²(x)  +  Cos(x)  +  1  =  0    ⇒   1  -  Cos²(x)  +  Cos(x)  +  1  =  0 ⇒

Cos²(x)  -  Cos(x)  -  2  =  0

Usamos la técnica de binomios con término semejante:  

(x ± a)(x ± b) donde,  

El signo en el primer factor es el signo del término grado uno en la ecuación y el signo en el segundo factor es el producto de los signos de los términos grado uno y grado cero.  

a y b son dos números que sumados (con los signos mencionados) den como resultado el coeficiente del término grado uno y multiplicados den como resultado el coeficiente del término grado cero.  

En el caso que nos ocupa:  

Signo en el primer factor = -  

Signo en el segundo factor = (-)(-) = +  

a = (-2) + (1) = -1  

b = (1)(-2) = -2  

Por tanto  

[Cos(x)  -  2][Cos(x)  +  1]  =  0

Cos(x)  =  2 (imposible)    ∨    Cos(x)  =  -1

La raíz es:    x  =  180°  

c.    5  -  5Cos(x)  =  3Sen²(x)  

Expresemos todo en Cos(x)

5  -  5Cos(x)  =  3Sen²(x)    ⇒    5  -  5Cos(x)  =  3[1  -  Cos²(x)]    ⇒ 3Cos²(x)  -  5Cos(x)  +  2  =  0

Vamos a aplicar la fórmula general de solución de la ecuación de segundo grado:  

Sea la ecuación ±ax² ± bx ± c = 0 entonces,  

$\mathbf {x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$

En el caso que nos ocupa:  

a  =  3                b  =  -5               c  =  2

Sustituyendo en la fórmula

$Cos(x) = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4(2)(3)}}{2(3)} \qquad \Rightarrow$

$Cos(x)= \frac{5\pm\sqrt{1}}{6}= \frac{5\pm1}{6} \qquad \Rightarrow$

Por tanto  

Cos(x)  =  1    ∨    Cos(x)  =  2/3

Las raíces son:    x  =  0°       ∧      x  =   48,2°  

d. 8Tg(x)  =  3Cos(x)  

Expresemos todo en Sen(x)

8Tg(x)  =  3Cos(x)        ⇒        8[Sen(x)/Cos(x)]  =  3Cos(x)        ⇒   Sen(x)  =  3Cos²(x)        ⇒        8Sen(x)  =  3[1  -  Sen²(x)]        ⇒      

3Sen²(x)  +  8Sen(x)  -  3  =  0

Apliquemos la técnica de factor común e igualación de los factores a cero para obtención de las raíces:

4Sen²(x)  -  Sen(x)  =  0        ⇒        Sen(x)[4Sen(x)  -  1]  =  0

Vamos a seguir el procedimiento en c.

a  =  3        b  =  8        c  =  -3

Sustituyendo en la fórmula  

$Sen(x)= \frac{-(8)\pm\sqrt{(8)^{2}-4(3)(-3)}}{2(3)} \qquad \Rightarrow \qquad = \frac{-8\pm\sqrt{100}}{6}= \frac{-8\pm10}{6}\qquad\Rightarrow$  

Por tanto  

Sen(x)  =  -3 (imposible)    ∨    Sen(x)  =  1/3

La raíz es:    x  =  19,5°  

e. Sen²(x)  +  5Cos²(x)  =  3  

Expresemos todo en Cos(x)

Sen²(x)  +  5Cos²(x)  =  3    ⇒    [1  -  Cos²(x)]  +  5Cos²(x)  =  3    ⇒  

4Cos²(x)  -  2  =  0

Apliquemos la técnica de binomios conjugados o diferencia de cuadrados:

4Cos²(x)  -  2  =  0        ⇒        [2Cos(x)  +  √2] [2Cos(x)  -  √2]  =  0

Por tanto  

Cos(x)  =  √2/2    ∨    Cos(x)  =  -√2/2

Las raíces son:    x  =  45°       ∧      x  =   135°      

(también cumplen         x  =  225°       ∧      x  =   315°)

f. 1  -  Cos²(x)  =  -2Sen(x)Cos(x)  

1  -  Cos²(x)  =  -2Sen(x)Cos(x)        ⇒        

Sen²(x)  =  -2Sen(x)Cos(x)        ⇒        

Sen²(x)  +  2Sen(x)Cos(x)  =  0      ⇒      

Sen(x)[Sen(x)  +  2Cos(x)]  =  0      ⇒        

Sen(x)  =  0        ∨        

Sen(x)  +  2Cos(x)  =  0   ⇒   Sen(x)  =  -2Cos(x)    ⇒   Tg(x)  =  -2

Por tanto  

Las raíces son:    x  =  0°       ∧      x  =   117°

(también cumplen         x  =  180°       ∧      x  =   297°)

g. 3Ctg(x)  =  Tg(x)  

Expresemos todo en Tg(x)

3Ctg(x)  =  Tg(x)        ⇒        3/Tg(x)  =  Tg(x)        ⇒        3  =  Tg²(x)

Por tanto  

Tg(x)  =  √3    ∨    Tg(x)  =  -√3

Las raíces son:    x  =  60°       ∧      x  =   120°  

(también cumplen         x  =  240°       ∧      x  =   300°)

h. 2Tg²(x)  +  3Sec(x)  =  0  

Expresemos todo en Sec(x)

2Tg²(x)  +  3Sec(x)  =  0     ⇒   2[Sec²(x)  -  1]  +  3Sec(x)  =  0    ⇒  

2Sec²(x)  +  3Sec(x)  -  2  =  0

Vamos a seguir el procedimiento en c.

a  =  2        b  =  3        c  =  -2

Sustituyendo en la fórmula  

$Sec(x)= \frac{-(3)\pm\sqrt{(3)^{2}-4(2)(-2)}}{2(2)} \qquad \Rightarrow \qquad =\frac{-3\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{-3\pm5}{4} \qquad \Rightarrow$  

Por tanto  

Sec(x)  =  -2    ∨    Sec(x)  =  1/2 (imposible)

La raíz es:    x  =  120°  

(también cumple       x  =  240°)

i. 2√3 Cos²(x)  =  Sen(x)

Expresemos todo en Sen(x)

2√3 Cos²(x)  =  Sen(x)     ⇒     2√3 [1  -  Sen²(x)]  =  Sen(x)     ⇒    

2√3Sen²(x)  +  Sen(x)  -  2√3  =  0

Vamos a seguir el procedimiento en c.

a  =  2√3        b  =  1        c  =  -2√3

Sustituyendo en la fórmula  

$Sen(x)= \frac{-(1)\pm\sqrt{(1)^{2}-4(2\sqrt{3})(-2\sqrt{3})}}{2(2\sqrt{3})} \qquad \Rightarrow \qquad =\frac{-1\pm\sqrt{49}}{4\sqrt{3}}= \frac{-1\pm7}{4\sqrt{3}} \qquad \Rightarrow$  

Por tanto  

Sen(x)  =  √3/2    ∨    Sen(x)  =  -2/√3 (imposible)

La raíz es:    x  =  60°  

(también cumple       x  =  120°)