Question

resolver lo siguiente:
un puente de 40 m de largo une dos colinas cuyas laderas forman con el horizonte ángulos de 35° y 42°. ¿Cuál es la altura del puente respecto al vértice del ángulo
formado por las dos laderas?

Answer 1

La altura del puente es de 15.76 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.  En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo.

Representamos la situación en un triángulo oblicuángulo ABC: el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la longitud del puente, y los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las respectivas distancias de cada una de las dos laderas desde cada uno de los extremos del puente hasta el vértice C donde ambas laderas convergen

Donde se pide hallar la altura del puente con respecto al vértice del ángulo formado por las dos laderas

Para facilitar la resolución del problema podemos hallar cualquiera de las dos longitudes de las laderas hasta el vértice mencionado, dado que conocemos la longitud del puente y los ángulos que este forma en cada extremo con cada una de las laderas

Teniendo para la ladera ubicada a la izquierda un ángulo de 35°, y para la ladera que se ubica a la derecha un ángulo de 42°, donde denotaremos a estos dos ángulos como α y β respectivamente

Dado que la altura del puente -que es nuestra incógnita- secciona al triángulo oblicuángulo en dos triángulos rectángulos ADC y BDC, la altura DC resulta ser el cateto opuesto a los ángulos de 35° y de 42° respectivamente

Por tanto si hallamos empleando el teorema del seno cualquiera de las dos longitudes de las laderas desde cada uno de los extremos del puente hasta donde ambas convergen -en el vértice C- habremos hallado las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos

En donde el cateto opuesto que equivale a la altura del puente es el mismo para ambos triángulos

Si el seno de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:

Por lo tanto basta con hallar la longitud de una de las laderas -hipotenusa de un triángulo rectángulo- hasta el vértice donde convergen las dos laderas para hallar luego la altura empleando la razón trigonométrica seno

Luego podemos determinar nuestra incógnita de dos maneras posibles donde arribaremos al mismo resultado

Donde antes debemos hallar el valor del tercer ángulo del triángulo oblicuángulo

Determinamos el valor del tercer ángulo C al cual denotamos como γ  

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o = 35^o+ 42^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 35^o- 42^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 103^o }}$

El valor del ángulo C (γ) es de 103°

Alternativa 1

Hallamos la longitud del lado AC (b) -Ladera Izquierda-

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(42 ^o ) } = \frac{ 40 \ m }{sen(103^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 40 \ m \ . \ sen(42 ^o ) }{sen(103^o) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 40\ m \ . \ 0.669130606359}{0.974370064785 } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 26.76522425436 }{ 0.974370064785 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 27.47 \ m }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en ADC para determinar la altura del puente

$\boxed { \bold { sen(35^o )= \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(35^o )= \frac{altura \ puente }{distancia\ b } }}$

$\boxed { \bold {altura \ puente= distancia \ b \ . \ sen(35^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ puente= 27.47 \ m \ . \ sen(35^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ puente= 27.47\ m \ . \ 0.573576436351 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ puente= 15.76\ m }}$

Alternativa 2

Hallamos la longitud del lado BC (a) -Ladera derecha-

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(35 ^o ) } = \frac{ 40 \ m }{sen(103^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 40 \ m \ . \ sen(35 ^o ) }{sen(103^o) } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 40\ m \ . \ 0.573576436351 }{0.974370064785 } }}$

$\boxed { \bold { a = \frac{ 22.94305745404 }{ 0.974370064785 }\ m }}$

$\large\boxed { \bold { a \approx 23.55\ m }}$

Conocida la hipotenusa hallamos el valor del cateto opuesto en BDC para determinar la altura del puente

$\boxed { \bold { sen(42^o )= \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(42^o )= \frac{altura \ puente }{distancia\ a } }}$

$\boxed { \bold {altura \ puente= distancia \ a \ . \ sen(42^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ puente= 23.55\ m \ . \ sen(42^o) }}$

$\boxed { \bold {altura \ puente= 23.55\ m \ . \ 0.669130606359 }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ puente= 15.76\ m }}$

Concluyendo que conocida el valor de una hipotenusa de cualquiera de los triángulos rectángulos que se conforman, basta con hallar la altura en uno de ellos para determinar la altura del puente