Matemáticas, pregunta formulada por will19832008, hace 1 año

Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante

6xydx+ (4y+9 x^{2} )dy=0[/tex]

Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
8
El factor integrante consiste en multiplicar cierta función u=u(x,y) a la ecuación diferencial
                              6xy\,dx+(4y+9x^2)\,dy=0

para que quede así
                          6xyu\,dx+(4y+9x^2)u\,dy=0

de tal forma que se verifique la siguiente igualdad
     \dfrac{\partial }{\partial y}(6xyu)=\dfrac{\partial }{\partial x}(4y+9x^2)u

Podemos empezar diciendo que u=u(x) ó u=u(y), y parece que nos convendría que  u=u(y), en efecto

\dfrac{\partial }{\partial y}(6xy\,u(y))=\dfrac{\partial }{\partial x}(4y+9x^2)u(y)\\ \\
6x\dfrac{\partial }{\partial y}(y\,u(y))=18xu(y)\\ \\
\dfrac{d }{d y}(y\,u(y))=3u(y)\\ \\
u\,dy + ydu = 3udy\\ \\
ydu = 2udy\\ \\
\dfrac{du}{u}=\dfrac{2dy}{y}\\ \\
\ln u = 2\ln y\\ \\
\boxed{u = y^2}

entonces tenemos
                             6xy^3\,dx+(4y^3+9x^2y^2)\,dy=0

Que sería la diferencial total de cierta función z, es decir
                                            dz = z_xdx+z_ydy

Por ello 
\dfrac{\partial z}{\partial x} = 6xy^3\\ \\ 
\displaystyle 
z=\int 6xy^3 dx\\ \\ 
z=6y^3\int xdx\\ \\ \\
\boxed{z=3x^2y^3+\phi(y)}

Por otra parte
z_y = 4y^3+9x^2y^2\\ \\
\dfrac{\partial }{\partial y}\left[3x^2y^3+\phi(y)\right]= 4y^3+9x^2y^2\\ \\
9x^2y^2+\phi'(y)=4y^3+9x^2y^2\\ \\
\phi'(y)=4y^3\\ \\
\boxed{\phi(y)=y^4}

por consiguiente se tiene
z=3x^2y^3+y^4\\ \\
\text{de }dz=0\text{ se deduce que } z=c\\ \\ \\
\boxed{3x^2y^3+y^4=c}

donde C es una constante




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