Question

Resolver la sigueinte inecuacion paso a paso.(por fa es para el viernes)

Answer 1

Explicación paso a paso:

$\frac{3^{(2x-3)} \: \: 3^{(4-x)} }{3^{(5x-1)} } > (3^{(2x+1)} )^{(x-2)}$

Aplicamos propiedades de los exponentes:

$a^{n} \: a^{m} = a^{n+m}$

$(a^{n})^{m} = a^{n\cdot m}$

$\frac{a^{n} }{a^{m} } = a^{n-m}$

$\frac{3^{[(2x-3)+(4-x)]} } {3^{(5x-1)} } > 3^{(2x+1)(x-2)}$

$\frac{3^{[2x-3+4-x]} } {3^{(5x-1)} } > 3^{(2x+1)(x-2)}$

$\frac{3^{(x+1)} } {3^{(5x-1)} } > 3^{(2x^{2} -3x-2)}$

$3^{[(x+1)-(5x-1)]} > 3^{(2x^{2} -3x-2)}$

$3^{(-4x+2)} > 3^{(2x^{2} -3x-2)}$

Acá se aplica otra ley de los exponentes, cuanto estos son funciones:

$a^{f(x)} = a^{g(x)} \: \: \: \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: \: \: \: f(x) = g(x)$

$-4x+2 > 2x^{2} -3x-2$

$2+2 > 2x^{2} -3x+4x$

$4 > 2x^{2} +x$

$0 > 2x^{2} +x -4$

$2x^{2} +x -4 < 0$

Se completa cuadrado para resolver de manera más sencilla ya que es una inecuación.

Se factoriza primero:

$2(x^{2} +\frac{x}{2} -2)$

$2[x^{2} +\frac{x}{2} -2+ (\frac{1}{4})^{2} - (\frac{1}{4})^{2} ]$

$2[(x+\frac{1}{4} )^{2} -2 - (\frac{1}{4})^{2} ]$

$2(x+\frac{1}{4} )^{2} -\frac{33}{8}$

Por lo que:

$2(x+\frac{1}{4} )^{2} -\frac{33}{8} < 0$

$2(x+\frac{1}{4} )^{2} < \frac{33}{8}$

$(x+\frac{1}{4} )^{2} < \frac{33}{16}$

Se aplica una regla:

$u^{n} < a \: \: \: \: \: \Rightarrow \: \: \: \: \: -\sqrt[n]{a} < u < \sqrt[n]{a}$

$-\sqrt{\frac{33}{16} } < x+\frac{1}{4} < \sqrt{\frac{33}{16} }$

Realizamos evaluaciones:

$-\sqrt{\frac{33}{16} } < x+\frac{1}{4}$

$x+\frac{1}{4} > -\sqrt{\frac{33}{16} }$

$x > -\sqrt{\frac{33}{16} } -\frac{1}{4}$

$x > -\frac{\sqrt{33} }{4} -\frac{1}{4}$

$x > \frac{-\sqrt{33} -1}{4}$

$x+\frac{1}{4} < \sqrt{\frac{33}{16} }$

$x < \sqrt{\frac{33}{16} } -\frac{1}{4}$

$x < \frac{\sqrt{33} }{4} -\frac{1}{4}$

$x < \frac{\sqrt{33} -1}{4}$

Respuesta:

Por tanto:

$\frac{-\sqrt{33} -1}{4} < x < \frac{\sqrt{33} -1}{4}$