Question

Resolver la Integral:
∫dx/√((4x² -25)³)

Answer 1

∫dx/√((4x² -25)³)
Por sustitución trigonométrica:

Sea x= 5/2 secθ
dx/dθ= 5/2 secθ tanθ
dx= 5/2 secθ tanθ dθ

∫dx/√((4x² -25)³) =
∫(5/2 secθ tanθ dθ)/√((4(5/2 secθ)² -25)³)=
5/2 ∫(secθ tanθ dθ)/√((25 sec²θ -25)³)=
5/2 ∫(secθ tanθ dθ)/√((25 (sec²θ -1))³)=
5/2 ∫(secθ tanθ dθ)/√((25 (tan²θ))³)=
5/2 ∫(secθ tanθ dθ)/√(25 (tan²θ))³)=
5/2 ∫(secθ tanθ dθ)/√(15625 (tan³θ)²)=
5/2 ∫(secθ tanθ dθ)/(125 tan³θ)=
1/50 ∫secθ / tan²θ dθ=
1/50∫cosθ csc²θ dθ 
Miremos la integral: 
∫cosθ csc²θ dθ 
Integrando por partes:
u= cos θ
du= -senθ dθ
dv= csc² θ dθ
v= ∫csc² θ dθ
v= -cot θ = -1/tanθ

∫cosθ csc²θ dθ  = -1/tanθ cosθ - ∫-1/tanθ (-senθ) dθ
= -cos²θ cscθ - ∫cos θ dθ
= -cos²θ cscθ -sen θ + K

Volviendo a la integral principal:
1/50(-cos²θ cscθ -sen θ + K)

Ahora debemos reemplazar, como x= 5/2 secθ
cosθ  = 5/2x

Cos θ= CA/H , con esto podemos formar un triangulo rectángulo y armar todas  las funciones trigonométricas:
Halando el CO:
25 + CO² = 4x²
CO²= 4x² - 25
CO = √(4x² - 25)

Con esto hallamos senθ= √(4x² - 25)/2x y cscθ= 2x/√(4x² - 25)
1/50(-cos²θ cscθ -sen θ + K)
=1/50((-25/4x²)  2x/√(4x² - 25) -  √(4x² - 25)/2x ) + c
= 1/50 (-25/(2x√(4x² - 25)) - 4x² - 25/(2x√(4x² - 25)) ) +c
= 1/50 ( - 4x²/(2x√(4x² - 25)) ) + c
= 1/50 ( - 2x/√(4x² - 25) ) + c
= - x/( 25√(4x² - 25) ) + c