Question

Resolver la integral:
∫dx /1-senx

Answer 1

∫dx /(1-senx)

Multiplicando por 1 como : (1+senx)/(1+senx)

∫dx /(1-senx) = ∫dx /(1-senx) * (1+senx)/(1+senx)

Obtenemos la factorización de una diferencia de cuadrados en el denominador:

∫ (1+senx)/(1-sen²x) dx

Ahora:
La identidad trigonométrica fundamental nos dice que:
1=sen²x+ cos²x
Luego:
1-sen²x= cos²x

∫ (1+senx)/(1-sen²x) dx = ∫ (1+senx)/cos²x   dx 
= ∫1/cos²x dx + ∫senx/cos²x dx
= ∫sec²x dx + ∫senx/cos²x dx

La integral de sec²x dx es directa:
∫sec²x dx = tan x + c

Para la otra integral:
∫senx/cos²x dx

Realizando una sustitución:
u = cos x
du = -senx dx

∫senx/cos²x dx = -∫du/u² = 1/u + c = 1/(cosx) + c

Luego:
∫dx /(1-senx) = secx +  tan x + C