Resolver este problema
Respuestas a la pregunta
Sea N = abc el número buscado.
N = 100 a + 10 b + c
1) a + b + c = 6
2) 100 a + 10 b + c + 90 = 100 b + 10 a + c
90 a - 90 b + 90 = 0
a - b + 1 = 0
3) 100 a + 10 b + c + 9 = 100 a + 10 c + b
9 b - 9 c + 9 = 0
b - c + 1 = 0
Tenemos un sistema lineal de tres ecuaciones.
Despejamos a de la segunda: a = b - 1; reemplazamos en la primera.
b - 1 + b + c = 6; o bien:
2 b + c = 7; la sumamos con la tercera.
3 b + 1 = 7; de modo que b = 2
Por lo tanto a = 1, c = 3
El número buscado es N = 123.
Verificamos.
123 + 90 = 213
123 + 9 = 132
Mateo
12.-La suma de las tres cifras de un número es 6; y, si se intercambian la primera y la segunda, el número aumenta en 90 unidades. Finalmente, si se intercambian la segunda y la tercera, el número aumenta en 9 unidades. Calcula dicho número.
Respuesta: 123 es el número buscado✔️
Explicación paso a paso:
Con la información que nos proporcionan tenemos que establecer las ecuaciones necesarias para resolver las incógnitas. Tenemos tres incógnitas, así que necesitaremos al menos tres ecuaciones.
Vamos a expresar como a, b, c , cada una de las tres cifras del número buscado que será N = abc
Como el sistema numérico decimal es posicional, el valor numérico de este número en función de sus cifras es:
N = 100a + 10b + c } Ecuación 1
Nos dicen que la suma de sus cifras es 6.
Expresado algebraicamente será:
a + b + c = 6 } Ecuación 2
Nos dicen que si se intercambian la primera y la segunda cifra el resultado se incrementa en 90 unidades.
Expresado algebraicamente será:
100b + 10a + c = N + 90 } Ecuación 3
Nos dicen también que si se intercambian la segunda y la tercera cifra el resultado aumenta en 9 unidades.
Expresado algebraicamente será:
100a + 10c + b = N + 9 } Ecuación 4
Ahora sustituimos el valor de N de la ecuación 1 en la ecuación 3:
100b + 10 a + c = 100a + 10b + c + 90 } Ecuación 3
Operando tenemos:
100b -10b +10a - 100a +c - c = 90
90b -90a = 90
Podemos dividir entre 90 todos los términos y simplificar:
b - a = 1 } Ecuación 3
Ahora sustituimos el valor de N de la ecuación 1 en la ecuación 4:
100a + 10c + b = 100a + 10b + c + 9 } Ecuación 4
Operando tenemos:
100a - 100a + 10c - c + b - 10b = 9
9c - 9b = 9
Podemos dividir entre 9 todos los términos y simplificar:
c - b = 1 } Ecuación 4
Despejando el valor de a en función de b de la ecuación 3:
a = b - 1 } Ecuación 3
Despejando el valor de c en función de b de la ecuación 4:
c = b + 1 } Ecuación 4
Ahora sustituyendo estos valores en la ecuación 2, calculamos b:
a + b + c = 6 } Ecuación 2
b - 1 + b + b + 1 = 6
3b = 6
b = 6/3 = 2 , ya tenemos el valor de la cifra central del número N
Sustituyendo este valor de b en las ecuaciones 3 y 4 calculamos las otras:
a = b -1 = 2-1 = 1 , ya tenemos el valor de la primera cifra del número N
c = b + 1 = 2 + 1 = 3 , ya tenemos el valor de la última cifra del número N
Respuesta: 123 es el número buscado✔️
Verificación
N = 123
La suma de sus cifras es 1 + 2 + 3 = 6 ✔️ comprobada condición 1
Intercambiando primera y segunda cifra, el número aumenta 90 unidades:
N = 123
Intercambiando primera y segunda cifra tenemos 213
213 - 123 = 90 ✔️ comprobada condición 2
Intercambiando segunda y tercera cifra, el número aumenta 9 unidades:
N = 123
Intercambiando segunda y tercera cifra tenemos 132
132 - 123 = 9 ✔️ comprobada condición 3