Question

Resolver el siguiente triangulo, considerando que AB= 150 mi. Y BC=100mi
Help me please

Answer 1

El lado faltante del triángulo (b) tiene una dimensión de aproximadamente 217,945 mi. El ángulo β tiene un valor de 120°. Mientras que el ángulo γ y el ángulo α miden aproximadamente 36,587° y 23,413° respectivamente

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo oblicuángulo

Solución

a) Determinamos el valor del ángulo β

El ángulo de 60° que se ve en la figura junto con el ángulo β del triángulo dado son ángulos suplementarios, dado que ambos forman un ángulo de 180°, es decir un ángulo llano.

Por lo tanto

$\boxed {\bold { \beta = 180^o - 60^o }}$          

$\large\boxed {\bold { \beta = 120^o }}$

b) Calculamos la magnitud del lado faltante AC = lado b  

Para hallar la dimensión del tercer lado vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Hallando la longitud del tercer lado

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold { b^{2} = 100^{2} + 150^{2} - 2 \ . \ 100 \ . \ 150 \ . \ cos(120)^o }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 10000 + 22500 - 30000\ . \ cos(120)^o }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 32500 - 30000\ . \ -0,5 }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 32500 + 15000 }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 47500 }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = 50^{2} \ . \ 19 }}$

$\large\boxed {\bold { b = 50 \sqrt{19} \ mi }}$

Expresado en decimal

$\large\boxed {\bold { b \approx 217,945 \ mi }}$

c) Hallando los ángulos faltantes del triángulo

Para determinar los ángulos desconocidos aplicaremos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallando el ángulo γ

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Reemplazamos

$\boxed { \bold { \frac{50\sqrt{19} \ mi}{ sen( 120 )^o } = \frac{150 \ mi }{sen(\gamma) } }}$

$\boxed { \bold { sen(\gamma)= \frac{sen( 120 )^o \ . \ 150 \ mi }{50\sqrt{19} \ mi } }}$

Aplicamos el ángulo de referencia para hallar el ángulo buscado con los valores trigonométricos equivalentes al primer cuadrante

$\boxed { \bold { sen(\gamma)= \frac{sen( 60 )^o \ . \ 150 \ mi }{50\sqrt{19} \ mi } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } { 2 } }$

$\boxed { \bold { sen(\gamma)= \frac{\frac{\sqrt{3} }{2} \ . \ 150 }{50\sqrt{19} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\gamma)= \frac{\frac{\sqrt{3} }{2} \ . \ 50 \ . \ 3 }{50\sqrt{19} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\gamma)= \frac{\frac{\sqrt{3} }{2} \ . \ 3 }{\sqrt{19} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\gamma)= \frac{\frac{3\sqrt{3} }{2} }{\sqrt{19} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\gamma)= \frac{ 3\sqrt{3} }{2} \ .\ \frac{1}{\sqrt{19} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\gamma)= \frac{ 3\sqrt{3} }{2\sqrt{19} } }}$

$\boxed { \bold { sen(\gamma)= \frac{ 3\sqrt{3} \ .\ \sqrt{19} }{2\ . \ 19} }}$

$\boxed { \bold { sen(\gamma)= \frac{ 3\sqrt{57} }{38} }}$

Aplicamos la inversa del seno pata hallar γ

$\boxed { \bold { \gamma=arcsen\left( \frac{ 3\sqrt{57} }{38} \right) }}$

$\large\boxed { \bold { \gamma\approx 36,587^o }}$

Hallando el ángulo α

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

$\boxed {\bold { 180^o = 120^o+ 36,587^o + \ \alpha } }$

$\boxed {\bold { \alpha = 180^o - 120^o- 36,587^o } }$

$\large\boxed {\bold { \alpha = 23,413^o } }$