Question

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por eliminacion gaussiana
x-4y+2z=0
-2x+y+2z=-1
3x-2y+z=2

Answer 1

Explicación paso a paso:

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}\,x-4y+2z&=&0\\</p><p>-2x+y+2z&=&-1\\</p><p>3x-2y+z&=&2\end{array}\right.$

$\texttt{Mulitplicamos la ecuaci\'on 1}\\\texttt{por 2 y por -3 lo sumamos}\\\texttt{a la segunda y tercera ecuaciones:}$

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}\,x-4y+2z&=&0\\</p><p>0-7y+6z&=&-1\\</p><p>0+10y-5z&=&2\end{array}\right.$

$\left(-\frac{1}{7}\right)E_{2}=\left\lbrace\begin{array}{rcl}x-4y+2z&=&0\\0+y-\frac{6}{7}z&=&\frac{1}{7}\\0+10y-5z&=&2\end{array}\right.$

$-10E_{2}+E_{3}=\left\lbrace\begin{array}{rcl}x-4y+2z&=&0\\0+y-\frac{6}{7}z&=\frac{1}{7}\\0+0+\frac{25}{7}z&=&\frac{4}{7} \end{array}\right.$

$\texttt{Sustituyendo hacia atras nos queda:}\\\frac{25}{7}z=\frac{4}{7}\\z=\frac{4}{25}\\y-\frac{6}{7}z=\frac{1}{7}\\y-\frac{6}{7}*\frac{4}{25}=\frac{1}{7}\\y-\frac{24}{175}=\frac{1}{7}\\y=\frac{1}{7}+\frac{24}{175}\\y=\frac{7}{25}\\x-4y+2z=0\\x=4y-2z\\x=4*\frac{7}{25}-2*\frac{4}{25}\\x=\frac{4}{5}$

Nota $E_{1}\,,E_{2}\,,E_{3}$

significan ecuaciones 1,2 y 3 respectivamente.

Finalmente las soluciones del sistema son:

$\boxed{x=\frac{4}{5}\,,y=\frac{7}{25}\,,z=\frac{4}{25}}$