Question

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

x - y + z =2

.[ x + y + z = 4

2x + 2y - z= -4

Ayuda paso a paso

Answer 1

Los valores de x, y y z que resuelven el sistema de ecuaciones son x=-1; y=1 y z=4

Explicación paso a paso:

Para aplicar el método de Gauss se comienza planteando la matriz ampliada del sistema de ecuaciones, las primeras 3 columnas son los coeficientes y la cuarta son los términos independientes.

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&2\\1&1&1&4\\2&2&-1&-4\end{array}\right]$

Tenemos que operar hasta obtener del lado izquierdo la matriz identidad, comenzamos seleccionando de ahí un elemento como pivote, tomemos el a11 que es 1. Se va a dividir su fila por el pivote y en cuanto a las demás, se va a hacer con cada elemento:

$a'_{ij}=\frac{a_{ij}}{a_{in}}-a'_{mj}$

Siendo n la columna del pivote y m la fila del pivote, la matriz nos queda:;

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&2\\1&1&1&4\\2&2&-1&-4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&2\\0&2&0&2\\0&2&-3/2&-4\end{array}\right]$

Ahora si tomamos como pivote el elemento a22 que es 2, se va a dividir toda la segunda fila por el pivote y queda:

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&2\\0&1&0&1\\0&2&-3/2&-4\end{array}\right]$

Ahora realizamos la misma operatoria que en el caso anterior con la primera y tercera fila:

$\left[\begin{array}{ccc|c}-1&0&-1&-3\\0&1&0&1\\0&0&-3/4&-3\end{array}\right]$

Ahora multiplicamos la primera fila por -1 y tomamos el a33 como pivote:

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&1&3\\0&1&0&1\\0&0&1&4\end{array}\right]$

Y repetimos la operatoria con la primera y segunda fila:

$\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&-1\\0&1&0&1\\0&0&1&4\end{array}\right]$