Question

Resolver el siguiente Problema:

Un fabricante de atún dispone de latón para fabricar las latas cilíndricas, si el volumen estándar es de 100 ml, ¿cuál debe ser el radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima?

Indicaciones:

Este problema se resolverá matemáticamente utilizando la formula del área lateral de un cilindro, considerando el dato del volumen.

Se complementará la tarea realizando un esquema C.D.R, de la siguiente forma:

CONTEXTO: Se referirá a situaciones reales, por ejemplo: producción artesanal, producción industrial, monopolios del sector del atún, importancia del consumo del atún en la nutrición, etc. (Escoja alguno de ellos u otra similar).

DESCONTEXTO: Se procederá a resolver el problema sabiendo que el área lateral es (2pi*r*h), más el área de las dos tapas: 2pi*r*r, se despejará una de las variables (r o h), de la formula del volumen del cilindro: V=2pi*r*r*h de esta manera se obtiene una función del área total de una sola variable (r o h), y esta función se minimizará, se sugiere graficar, utilizar tablas y utilizar fórmulas de máximos y mínimos de una parábola.

EL RECONTEXTO: Se deberá plantear un problema similar con variantes, por ejemplo, fabricación de botellas de gaseosa, cajas de zapatos, recipientes etc, también se puede comparar las áreas de 2 marcas de atunes en el mercado, también se puede variar el problema dando la cantidad de material y obtener el volumen máximo posible.

Answer 1

El radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima es:

r = 2.5 ml

h = 5 ml

Explicación paso a paso:

Volumen de cilindro;

V = π·r²·h

Sustituir;

100 = π·r²·h

Despejar h;

h = 100/π·r²

El área del cilindro;

At = 2π·r² + 2π·r·h

Sustituir h;

At = 2π·r² + 2π·r·(100/π·r²)

At = 2π·r² +200π·r/π·r²

At = 2π·r² + 200/r

Aplicar derivada;

At' = d/dr([2π·r²+ 200]/r)

d/dr(2πr²) = 4π·r

d/dr(200/r) = -200/r²

Sustituir;

At' =  4π·r -200/r²

Igualar a cero;

4π·r -200/r² = 0

Despejar r;

200/r² = 4π·r

r³ = 200/4π

Aplicar raíz cúbica a ambos lados;

r = ∛(200/4π)

r = 2.5 ml

Sustituir en h;

h = 100/π·r²

h = 100/ π·(2.5)²

h = 5 ml