Question

Resolver el problema de valor inicial a través del metodo de Taylor

dy/dx = 1/x+y+1 con y(0) = 0

Answer 1

Métodos de TaylorSe presenta de nuevo el problema de valor inicial cuya solución se intenta aproximar:
 (1)Como en el método de Euler, se determina primero la malla {t0, t1, ... , tN} de paso h, donde t0 = a y  tN = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución.El método de Euler se obtuvo aplicando el desarrollo de una función en polinomios de Taylor con n = 1, para aproximar la solución de la ecuación diferencial del problema (1). El error local de este método, dado por el error de la fórmula de Taylor, resultó O(h2), llevando a un error global de O(h). Con el objeto de encontrar un método que mejore las propiedades de convergencia, se pueden utilizar, de la misma manera, polinomios de Taylor de mayor grado.Se supone que la solución y(t) del problema de valor inicial (1) tiene (n+1) derivadas continuas. Si se hace un desarrollo de Taylor de la función y(t) alrededor del punto ti se tiene:
 (2)para algún número ξi entre ti y t. Si se evalúa la expresión (2) en t = ti+1, para cualquier i, y como ti+1 - ti = h, se tiene, para ξi entre ti y ti+1
  (3)
Como y satisface la ecuación diferencial, en particular es y'(ti ) = f(ti,yi), y derivando sucesivamente (teniendo en cuenta que y es función de t, por lo que se deberá aplicar la regla de la cadena), se tiene:y''(ti ) = f'(ti, yi) = (ft 1 + fy y')i = (ft + fy f)iy'''(ti ) = f''(ti, yi) = [ftt 1 + fty y' + fyt 1 + fy' f + fy f ']i = [ftt  + fty f + (fyt 1 + fyy y')f + fy (ft + fy f)]i                   = [ftt  + 2fty f +  fyy f 2 + fy ft + fy2 f)]iy en general,  y(n)(ti ) = f(n-1)(ti,yi) (utilizando la expresión corta)Al sustituir estos resultados en la ecuación (3), se obtiene:
 (4)La ecuación dada por (4) se llama ecuación de diferencias, y define el método de Taylor de orden n, que se obtiene suprimiendo el término de error que contiene el valor desconocido ξi.Por lo tanto, la fórmula del método de Taylor de orden n resulta: