Question

Resolver:
5^x+2 + 5^x-2 + 5^x+1 + 5^x-1 = 3780

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Answer 1

Suma de números exponenciales

1) Debemos desglosar las potencias por medio de las propiedades de la potencia  

      $\bf a^{m+n}= a^{m}* a^{n} \\ \\ \\ \bf a^{p-k}= a^{p}: a^{k}$

2) Debemos Aplicar Factor Común
3) Después resolver la suma
4) Aplicar logaritmos para poder bajar un exponente literal por medio de la propiedad de logaritmo  

$\bf Log_mM^{a} = a* Log_mM\\ \\ \\\\ \bf 5^{x+2}+5^{x-2}+5^{x+1}+5^{x-1}=3780 \\ \\ \\ \bf 5^{x}*5^{2} +5^{x}:5^{2} +5^{x}*5^{1} +5^{x}: 5^{1} =3780\qquad Sacamos\ Factor\ Comun\ 5^{x} \\ \\ \\ \bf 5^{x}*5^{2} +\frac{5^{x}}{25}+5^{x}*5^{1} +\frac{5^{x}}{5}=3780\\ \\ \\ \bf 5^{x}*(25 +\frac{1}{25}+5 +\frac{1}{5})=3780\\ \\ \\ \bf 5^{x}*\left(\dfrac{625+1+125+5}{25 }\right)=3780 \\ \\ \\ \bf 5^{x}*\left(\dfrac{756}{25 }\right)=3780$

          $\bf 5^{x}=3780: \left(\dfrac{756}{25 }\right)\\ \\ \\ \bf 5^{x}=945*\left(\dfrac{25}{189 }\right)\\ \\ \\ \bf 5^{x}=\left(\dfrac{23625}{189}\right)\qquad Ecuacion \ Exponencial,se \ aplica \ logaritmo\\ \\ \\ \\ \\ \bf Log_55^{x}= Log_5\dfrac{23625}{189} \qquad \qquad Log_aa^{x} =x*Log_aa\\\\\\ \bf x*Log_55= Log_5\dfrac{23625}{189}\\\\\\ \bf x*(1)=3\qquad \to\qquad \boxed{\boxed{\bf{x= 3}}}$

   

 Verificamos la ecuación

$\bf 5^{x+2}+5^{x-2}+5^{x+1}+5^{x-1}=3780 \\ \\ \\ x= 3\qquad Reemplazamos \ el \ valor\ de\ x \\ \\ \\ \bf 5^{3+2}+5^{3-2}+5^{3+1}+5^{3-1}=3780 \\ \\ \\ \bf 5^{5}+5^{1}+5^{4}+5^{2}=3780\\ \\ \bf 3780=3780\qquad \checkmark$

Espero que te sirva, salu2!!!!