Question

resolver:

4x² - 2√3 x-2>0

a. x∈ <∞;√3 - √5> U <√3 + √5;∞>
b. x∈ {√3 -√5;√3 + √5}
c. x∈ <√3- √5;√3 +√5>
d. x∈Ф
e. x∈<-∞; √3 - √5} U {√3 + √5;∞>

Answer 1

Respuesta:

La desigualdad que tienes es la siguiente:

$4x^{2}-2\sqrt{3}x-2>0$

Cuando tienes desigualdades cuadráticas (el máximo grado de x es 2), agrupas todos los términos de un lado de la desigualdad (ya está hecho en tu ejercicio), y aplica fórmula general para obtener las raíces de un polinomio de grado 2, es decir:

$x_{1,2}=\frac{-b+-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

*Recordando, a es el coeficiente del término cuadrático, b el del lineal y c el independiente.

$x_{1,2}=\frac{-(-2\sqrt{3}) +-\sqrt{(2\sqrt{3} )^{2}-4(4)(-2)}}{2(4)}\\\\x_{1,2}=\frac{2\sqrt{3} +-\sqrt{4(3)+32}}{8}\\\\x_{1,2}=\frac{2\sqrt{3} +-\sqrt{44}}{8}\\\\x_{1}=\frac{2\sqrt{3} +\sqrt{44}}{8}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11} }{4}\\\\x_{2}=\frac{2\sqrt{3} -\sqrt{44}}{8}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{11} }{4}$

Estas serían las soluciones. Ahora, creamos intervalos en una linea recta (como los que se ven en la imagen), y tomamos 1 valor que esté dentro de cada intervalo respectivamente, y lo valuamos en la desigualdad inicial.

Con x=-2

$4(-2)^{2}-2\sqrt{3}(-2) -2>0\\4(4)+4\sqrt{3}-2>0\\16+4\sqrt{3} -2>0\\14+4\sqrt{3}>0$

La desigualdad de cumple, por tanto el intervalo:

$(-\infty,\frac{\sqrt{3}-\sqrt{11} }{4} )$ es una solución.

Con x=0

$4(0)^{2}-2\sqrt{3}(0)-2>0\\0-0-2>0\\-2>0$

No se cumple la desigualdad.

Con x=2

$4(2)^{2}-2\sqrt{3}(2)-2>0\\4(4) -4\sqrt{3}-2>0\\16-4\sqrt{3}-2>0\\14-4\sqrt{3}>0$

La desigualdad cumple, por tanto el intervalo

$(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11} }{4} ,\infty)$ es una solución.

Es decir, que el resultado es la unión de ambos intervalos:

$x\epsilon <-\infty,\frac{\sqrt{3}-\sqrt{11} }{4} > U <\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11} }{4} ,\infty>$

Esa sería la respuesta, espero te sirva!