Matemáticas, pregunta formulada por madrid8102004, hace 8 meses

Relaciona correctamente lasDeterminar los valores de k para que la recta L:3x–2y+k=0 sea tangente a la circunferencia C:x2+y2–4x+6y–39=0

Respuestas a la pregunta

Contestado por mispinosa
3

Respuesta:

k = 14

Explicación paso a paso:

Buscamos la distancia del centro de la circunferencia a la recta. Para ello usamos la fórmula:

d = Ι Ax₁ + By₁ + CΙ / √A²+B²

La recta es 3x -2y + k = 0 y por lo tanto A = 3; B = -2; C = k.

x₁ e y₁ son las coordenadas del centro de la circunferencia. Para hallarlo debemos completa los cuadrados:

x² + y² - 4x + 6y - 39 = 0

(x² - 4x + 4) - 4 + (y² + 6y + 9) - 9 = 39

(x-2)² + (y+3)² = 39 + 4 + 9

(x-2)² + (y+3)² = 52

El centro es (2;-3) y el radio √52

Reemplazamos:

d =  Ι 3.2 + (-2). (-3) + kΙ / √3² + (-2)²

d = (12 + k)/√13

Pero la distancia es igual al radio, entonces:

(12+k)/√13 = √52

12 + k = √52 . √13

12 + k = √676

12 + k = 26

k = 26 - 12

k = 14

Contestado por yordangayoso
1

Respuesta:

k = { 14; -38}

Explicación paso a paso:

Buscamos la distancia del centro de la circunferencia a la recta. Para ello usamos la fórmula:

d = Ι Ax₁ + By₁ + C Ι / √A²+B²

(donde (x₁ ; y₁) es el centro de la circunferencia)

La recta es 3x -2y + k = 0 y por lo tanto A = 3; B = -2 y C = k.

Como x₁ e y₁ son las coordenadas del centro de la circunferencia. Para hallarlas debemos completa los cuadrados:

x² + y² - 4x + 6y - 39 = 0

(x² - 4x + 2²) - 2² + (y² + 6y + 3²) - 3² = 39

(x-2)² + (y+3)² = 39 + 4 + 9

(x-2)² + (y+3)² = 52

El centro es (2;-3) y el radio √52

Reemplazamos:

d =  Ι 3.2 + (-2). (-3) + k Ι / √3² + (-2)²

d = Ι 12 + k Ι/√13

Pero la distancia es igual al radio, entonces:

Ι 12+k Ι /√13 = √52 (recuerda que el valor absoluto te entrega dos valores el positivo y el negativo no puedes obviar ninguno de los dos a menos que el problema te lo especifique)

12 + k = √52 . √13   y   12 + k = - √52 . √13

12 + k = √676               12 + k = - √676

12 + k = 26                    12 + k =  -26

k = 26 - 12                     k = -26 - 12

k = 14                             k = -38

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