Question

Reducir la ecuación x² − 4x − 2y+ 10 = 0 a la forma ordinaria de la parábola, hallar las
coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz y el eje focal y la longitud de
su lado recto.

Answer 1

Estos son los pasos para pasar la ecuación general a la ordinaria:

$x^2-4x-2y+10=0\\\\x^2-4x+4=2y-10+4\\\\(x-2)^2=2y-6\\\\(x-2)^2=2(y-3)$

Forma ordinaria: $(x-2)^2=2(y-3)$

En el formato ordinario, se puede deducir que las coordenadas del vértice son (2,3). También que se trata de una parábola vertical positiva. Sabiendo que es vertical el eje focal sería

Comparándolo con el formato:

$(x-h)^2=4p(y-k)$

Calculamos p:

$4p=2\\p=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Este valor, es la distancia del vértice al foco:

Foco= (2,3+1/2)--->Foco(2,7/2)

Y para la directriz:

y=3-1/2--->Directriz: y=5/2

Y para el lado recto equivale a 4p es decir 2