Question

Reducir el orden de una ecuacion diferencial

Answer 1

• ECUACIONES EXPL´ICITAS DE PRIMER ORDEN. Es decir, de la forma y ′ = f(x, y). 1. Variables separadas. Son de la forma g(x) = h(y)y ′ . Formalmente, se separa g(x) = h(y) dy dx en g(x) dx = h(y) dy y se integra. 2. Ecuaci´on de la forma y ′ = f(ax + by). El cambio de funci´on y(x) por z(x) dado por z = ax + by la transforma en una de variables separadas. 3. Homog´eneas. Son de la forma y ′ = f y x . Se hace el cambio de funci´on y(x) por u(x) mediante y = ux, transform´andose as´ı la E. D. en una de variables separadas. 3 ′ . Reducibles a homog´eneas. Son de la forma y ′ = f a1x + b1y + c1 ax + by + c . 3 ′ .1. Si las rectas ax + by + c = 0 y a1x + b1y + c1 = 0 se cortan en (x0, y0), se hace el cambio de variable y de funci´on X = x − x0, Y = y − y0. La ecuaci´on se reduce a una homog´enea. 3 ′ .2. Si ax + by + c = 0 y a1x + b1y + c1 = 0 son rectas paralelas, se hace el cambio de funci´on z = ax + by. La nueva ecuaci´on que aparece es de variables separadas. 3 ′′ . Homog´eneas impl´ıcitas. Son de la forma F y x , y′ = 0. Consideramos la curva F(α, β) = 0. Si encontramos una representaci´on param´etrica α = ϕ(t), β = ψ(t), F(ϕ(t), ψ(t)) = 0, se hace el cambio de funci´on y por t mediante y x = ϕ(t), y ′ = ψ(t). As´ı, derivando y = xϕ(t) respecto de x, aparece una ecuaci´on en variables separadas. 3 ′′′ . Si la ecuaci´on y ′ = f(x, y) es tal que, para alg´un α 6= 0 fijo, f satisface f(λx, λα y) = λ α−1 f(x, y), entonces el cambio de funci´on y = z α transforma la ecuaci´on en una homog´enea. (Si α = 1, la E. D. ya es homog´enea; y si f cumple la relaci´on anterior con α = 0, la E. D. es de variables separadas.)