Question

recta de y=-3x+1 determina una recta paralela y otra perpendicular a la misma

Answer 1

La ecuación de una recta paralela a la dada está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = -3x }}$

Y de una recta perpendicular a la dada:

$\large\boxed {\bold { y =\frac{1}{3} x }}$

Donde las dos rectas determinadas - la paralela y la perpendicular- a la recta original pasan por el origen de coordenadas

Pendiente de una recta y ordenada al origen

El coeficiente que acompaña a la x es la pendiente de la recta.

A la cual se la denota como m

Al término independiente b, se lo llama ordenada en el origen de una recta.

Siendo b el intercepto en el eje Y o el punto de corte con el eje de ordenadas. Donde en el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos que (0, b) es el punto de corte con el eje Y también llamado eje de ordenadas.

Solución

Sea la recta

$\large\boxed {\bold { y = -3x +1 }}$

Se solicita hallar una recta paralela y otra perpendicular a la misma

Reescribimos la recta dada en la forma pendiente punto de intercepción

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

$\large\boxed {\bold { y = -3x +1 }}$

Donde

$\large\boxed {\bold { m = -3 }}$

La pendiente m de la recta dada es m = -3

Luego

$\large\boxed {\bold { b = 1 }}$

Lo cual es el punto de corte sobre el eje Y

Dado que en el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

Intersección con el eje Y:

$\large\boxed {\bold { (0, 1) }}$

Determinamos una recta paralela y otra perpendicular a la recta dada

Dado que el enunciado no pide otra cosa se decide que tanto la recta paralela y la perpendicular a la dada pasen por el origen de coordenadas, es decir por el punto (0,0)

Recta Paralela

Determinamos la pendiente de una recta paralela

Denotaremos a la pendiente de la recta paralela $\bold { m_{1} }$

Para que las rectas sean paralelas basta con que tengan la misma pendiente.

$\large\boxed{\bold {m_{1} =m }}$

$\large\boxed{\bold {m_{1} = -3 }}$

Concluyendo que cualquier recta paralela a la dada tendrá la misma pendiente, luego la pendiente de una recta paralela será m = -3

Hallamos la recta paralela a la dada que pase por el punto (0,0)

Empleamos la forma pendiente punto de intercepción

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde como la recta debe ser paralela a la dada su pendiente será igual a -3

$\large\boxed{\bold {m_{1} = -3 }}$

Luego sabemos que la recta paralela solicitada pasa por el punto (0,0)

Siendo el punto de corte sobre el eje Y

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

Intersección con el eje Y:

$\large\boxed {\bold { (0, 0) }}$

Por lo tanto siendo b la intersección en Y:

$\large\boxed {\bold { b = 0 }}$

Reemplazamos los valores de m pendiente y b la intersección en Y

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

$\boxed {\bold { y = -3x +0 }}$

$\large\boxed {\bold { y = -3x }}$

Habiendo hallado una recta paralela a la dada que pasa por el punto (0,0), es decir el origen de coordenadas

Recta Perpendicular

Hallamos una recta perpendicular a las anteriores y que pase por el origen, o lo que es lo mismo por el punto (0,0)

Determinamos la pendiente de una recta perpendicular

Denotaremos a la pendiente de la recta perpendicular $\bold { m_{2} }$

La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo

En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original $\bold { m }$

$\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ m } }}$

Reemplazamos valores y resolvemos

$\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{-3 } }}$

$\large\boxed{\bold {m_{2} =\frac{ 1 }{3 } }}$

Luego sabemos que la recta perpendicular solicitada pasará por el origen: el punto (0,0)

Consideramos nuevamente el punto de corte sobre el eje Y

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

Intersección con el eje Y

$\large\boxed {\bold { (0, 0) }}$

Por lo tanto siendo b la intersección en Y:

$\large\boxed {\bold { b = 0 }}$

Reemplazamos los valores de m pendiente y b la intersección en Y

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

$\boxed {\bold { y =\frac{1}{3} x +0 }}$

$\large\boxed {\bold { y =\frac{1}{3} x }}$

Habiendo hallado la recta perpendicular a las anteriores que pasa por el origen

Concluyendo que cualquier recta que tenga de pendiente -3 será paralela a la dada, sin importar donde corte al eje Y, y para una recta perpendicular basta que la pendiente sea su inverso multiplicativo -para el caso 1/3,- luego cualquier recta con esa pendiente será perpendicular sin importar tampoco el intercepto con el eje Y

Como se solicitó determinar una recta paralela y una perpendicular a una recta dada, sin otro requerimiento especifico, se decidió que ambas rectas pedidas pasaran por el punto (0,0), es decir por el origen, nótese que cualquier recta cuyo término independiente b sea igual a cero, siempre pasará por el origen de coordenadas