Question

Realiza la factorizacion Suma o diferencia de cubos 2 mx elevado 4 y X elevado a 5K - 0,001 X el elevado 21

Answer 1

EJEMPLO 1: (Suma de Potencias Impares)

x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)
x        2 


  | 1  0  0  0  0  32
  |
  |
-2|   -2  4 -8  16 -32
    1 -2  4 -8  16 |0

Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16


Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25.
Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2).  Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini.
Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división".

Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras.

La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios resultan prácticamente iguales.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 




EJEMPLO 2: (Resta de Potencias Impares)

x3 - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)

x     2

Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases. 


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2



EJEMPLO 3: (Resta de Potencias Pares)

b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)

b      3

En las restas de potencias pares se puede dividir tanto por la resta como por la suma de las bases. 


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3




EJEMPLO 4: (Suma de Potencias Pares) 

x4 + 16 = x4 + 16

En general no se factorizan las sumas de Potencias pares. Porque algunas no son divisibles ni por la suma ni por la resta de las bases. Pero las potencias que son múltiplo de 3, 5, u otros números impares, sí se pueden factorizar. Aunque, como es un poco diferente su factorización, no lo suelen ver en el Nivel Medio. Consultar en EJEMPLO 12 un ejemplo de esto. 


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4




EJEMPLO 5: (Con el "1")

x7 + 1 = (x + 1).(x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x + 1)

x     1

No hay que olvidar que el "1" puede ser "cualquier potencia". Así que siempre puede ser tomado como base de cualquier potencia.