Question

rea cuatro sucesiones con 5 términos cada una, la consigna es que dos tengan progresión aritmética y la otra dos, progresión geométrica.

Answer 1

Progesión Geometrica

Razón

La razón se calcula dividiendo un término entre el término anterior:

${\displaystyle r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}}{\displaystyle r={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}}$

Ejemplos de progresiones geométricas

• La progresión 5, 15, 45, 135, 405,...' es una progresión geométrica con razón ${\displaystyle r=3}{\displaystyle r=3}$

• Las progresiones 1, 2, 4, 8, 16,... y 5, 10, 20, 40,... son geométricas con razón ${\displaystyle r=2}{\displaystyle r=2}.$

• La progresión -3, 6, -12, 24, ... tiene razón ${\displaystyle r=-2}{\displaystyle r=-2}.$ Esta progresión es también una sucesión alternada.

• Otros ejemplos son: la paradoja de Aquiles y la tortuga, el problema del trigo y del tablero de ajedrez y la cantidad de movimientos de los anillos en la torres de Hanoi.

Definición recursiva

Se llama progresión geométrica una sucesión numérica $({\displaystyle b_{n}}b_n)$ definida por las condiciones

${\displaystyle b_{n}=\left\{{\begin{array}{llcl}si&n=1&\longrightarrow &p\\si&n>1&\longrightarrow &b_{n-1}\cdot q\end{array}}\right.}{\displaystyle b_{n}=\left\{{\begin{array}{llcl}si&n=1&\longrightarrow &p\\si&n>1&\longrightarrow &b_{n-1}\cdot q\end{array}}\right.}$

llamada ecuación recursiva de orden$( {\displaystyle q\neq 0}{\displaystyle q\neq 0}), {\displaystyle n=1,2,...}{\displaystyle n=1,2,...} {\displaystyle$

que es la razón de la progresión geométrica.

Monotonía

Una progresión geométrica es monótona creciente cuando cada término es mayor o igual que el anterior $({\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}}{\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}})$, monótona decreciente cuando cada término es menor o igual que el anterior $({\displaystyle a_{n}\leq a_{n-1}}{\displaystyle a_{n}\leq a_{n-1}})$, constante cuando todos términos son iguales $({\displaystyle a_{n}=a_{n-1}}{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}})$ y alternada cuando cada término tiene signo distinto que el anterior (ocurre cuando${\displaystyle r<0}{\displaystyle r<0}$).

Ya en mucho detalle:

Producto de los primeros n términos de una progresión geométrica

El producto de los ${\displaystyle n}$ primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}=\left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n}}}\right)^{n}} (si {\displaystyle a_{1},r>0}{\displaystyle a_{1},r>0}).$

Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón ${\displaystyle r}r (si {\displaystyle a_{1},r>0}{\displaystyle a_{1},r>0})$, están en progresión aritmética de diferencia ${\displaystyle \log r}{\displaystyle \log r}$, se tiene:

${\displaystyle \log(\prod _{i=1}^{n}a_{i})=\ \sum _{i=1}^{n}\log a_{i}=\ {\frac {(\log a_{1}+\log a_{n})n}{2}}=\ \log \left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n}}}\right)^{n}} ,$

y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.