Question

razones trigonometricas.
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Answer 1

Aplicando las razones trigonométricas en los triángulos rectángulos con las medidas de sus lados se pueden hallar sus valores. En la imagen adjunta está la tabla completa.

¿Cómo hallar las razones trigonométricas?

Para calcular las razones trigonométricas de los ángulos provistos podemos trazar triángulos rectángulos en los cuales uno de los ángulos sea aquel cuyas razones estamos buscando.

Podemos empezar trazando un triángulo rectángulo en el cual uno de los ángulos agudos sea de 60°, con ayuda de la escuadra de 60°, nos quedará algo parecido al triángulo ABC en la imagen adjunta. El cateto adyacente del ángulo de 60° es el que pasa por dicho ángulo y el opuesto es el otro cateto. Al medir los tres lados y hallar las razones nos queda:

$cos(60\°)=\frac{AB}{AC}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}\\\\sen(60\°)=\frac{BC}{AC}=\frac{k\sqrt{3}}{2k}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\tan(60\°)=\frac{BC}{AB}=\frac{k\sqrt{3}}{k}=\sqrt{3}$

Las funciones recíprocas son simplemente los inversos multiplicativos de estas razones:

$sec(60\°)=\frac{1}{cos(60\°)}=\frac{1}{1/2}=2\\\\csc(60\°)=\frac{1}{sen(60\°)}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\\\\cot(60\°)=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Con esto podemos completar la columna de 60°, como el otro ángulo del triángulo rectángulo ABC es 90°-60°=30°, su complementario, queda:

$cos(30\°)=sen(60\°)=\frac{\sqrt{3}}{2}\\sen(30\°)=cos(60\°)=\frac{\sqrt{1}}{2}\\tan(30\°)=\frac{1}{tan(60\°)}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\\\sec(30\°)=csc(60\°)=\frac{2\sqrt{3}}{3}\\csc(30\°)=sec(60\°)=2\\cot(30\°)=\frac{1}{cot(60\°)}=\sqrt{3}$

Ahora, para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 37° y 53° (un par de ángulos complementarios), tenemos que analizar el triángulo rectángulo DEF:

$cos(53\°)=\frac{DE}{DF}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}\\sen(53\°)=\frac{FE}{DF}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}\\tan(53\°)=\frac{DE}{DE}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}\\\\sec(53\°)=\frac{1}{cos(53\°)}=\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}\\csc(53\°)=\frac{1}{sen(53\°)}=\frac{1}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{4}\\cot(53\°)=\frac{1}{tan(53\°)}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

También podemos hallar las razones del ángulo complementario:

$cos(37\°)=sen(53\°)=\frac{4}{5}\\sen(37\°)=cos(53\°)=\frac{3}{5}\\tan(37\°)=\frac{1}{tan(53\°)}=\frac{3}{4}\\\\sec(37\°)=\frac{1}{cos(37}\°)}=\frac{1}{\frac{4}{5}}=\frac{5}{4}\\csc(37\°)=\frac{1}{sen(37\°)}=\frac{1}{\frac{3}{5}}=\frac{5}{3}\\cot(37\°)=\frac{1}{tan(37\°)}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$

Por último, analizando el triángulo rectángulo GHI cuyos ángulos agudos son de 45° podemos hallar las razones trigonométricas de este ángulo:

$cos(45\°)=\frac{GH}{GI}=\frac{k}{k\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\sen(45\°)=\frac{HI}{GI}=\frac{k}{k\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\tan(45\°)=\frac{HI}{GH}=\frac{k}{k}=1\\\\sec(45\°)=\frac{1}{cos(45\°)}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\\csc(45\°)=\frac{1}{sen(45\°)}=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\\cot(45\°)=\frac{1}{cos(45\°)}=\frac{1}{1}=1$

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