raíz de 5 es irracional o racional y justificar
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Irracional
Explicación paso a paso:
Un irracional es un número que no es un cociente de dos números. En el caso de la raíz de 5, sabemos que todas las raíces cuadradas de números primos son irracionales
Respuesta:
Un número que es irracional no puede expresarse como una fracción a/b , puesto que los decimales continuan infinitos y de forma aleatoria, tal que no existe una relación entre ellas con el que podamos expresarlo como una fracción.
Existe un método para demostrar que el número 5 es irracional, denominado reducción al absurdo, la cual te presento a continuación:
Supongamos que: √5 es racional, y que podemos expresarlo como a/b (a y b ∈ N) , es decir:
√5 = a/b , tal que a/b está simplificada (es decir a y b son números PESI)
* Números PESI: Primos entre sí
Si elevamos al cuadrado la expresión anterior, obtendremos que:
a²/b² = 5
a² = 5*b²
De esta expresión, se concluye que a² es múltiplo de 5, por lo tanto "a" también lo será! (recuerda que a∈N)
Siendo a múltiplo de 5, podemos expresarlo como a=5k , k∈N, y si reemplazamos en la expresión anterior, obtendremos que:
(5k)² = 5b²
25k² = 5b²
5k² = b²
Ahora, similar al caso anterior b² es múltiplo de 5, por lo tanto b también lo será. Pero ey! recuerda que hemos dicho que a y b son números pesi (por lo tanto no pueden tener ningun factor en común) , caso que no se está cumpliendo. Y como puedes observar, hemos llegado a un absurdo.
Por lo tanto, si √5 no es racional, será irracional.
Espero y te sirva, corona por favooor :)))