raíz cuadrada de 2 es un número racional
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Demostración: raíz de 2 es un número irracional.
Explicación paso a paso:
Cuando escuchamos hablar de raíz de 2, casi siempre surge el comentario que raíz de 2 es un número irracional. Esto significa que no lo podemos escribir como una fracción y mucho menos escribirlo en notación decimal, por ser un número con infinitas cifras después de la coma que no siguen patrón alguno. Este número surge al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado una unidad. Raíz de 2 se obtiene como resultado de calcular dicha medida utilizando el Teorema de Pitágoras.
A continuación realizaremos una demostración de que efectivamente 2–√ es un número irracional. Demostrarlo es equivalente a probar que 2–√ no pertenece al conjunto de los números racionales, es decir que no lo podemos escribir como una fracción.
Demostración: raíz de 2 es un número irracional
Realizaremos una demostración por reducción al absurdo. Supondremos que 2–√ no es un número irracional y luego llegaremos a una contradicción.
Si suponemos que 2–√ no es un número irracional entonces 2–√ debe ser un número racional. Por tal motivo lo podremos expresar como una fracción irreducible de la siguiente forma:
2–√=ab
Donde a y b son números naturales con b≠0
Suponer que es una fracción irreducible implica que el máximo común divisor entre a y b es 1 (la fracción ya se encuentra simplificada) o lo que es lo mismo que no tienen factores en común a excepción del 1.
Elevemos al cuadrado ambos lados de la igualdad:
(2–√)2=(ab)2
2=a2b2
2b2=a2
Al ser 2b2=a2 podemos afirmar que a2 es un un múltiplo de dos y en consecuencia lo es también a (un número par elevado al cuadrado es un número par, mientras que un número impar elevado al cuadrado es impar). Esto implica que a=2n, siendo n un número natural. Si sustituimos el valor de a en la ecuación anterior nos queda:
2b2=(2n)2
2b2=4n2
Simplificando entre 2 tendremos que b2=2n2
De esta forma b2 es igual a un múltiplo de dos y en consecuencia lo es también b. Podemos escribir que b=2k, siendo k un número natural. Como a y b son múltiplos de dos, tienen como factor en común al dos. Esto contradice la suposición inicial de que es una fracción irreducible. Resulta absurdo suponer que raíz de 2 es un número racional. En consecuencia raíz de 2 es un número irracional.
