Question

Racionalizar esta expresión:

$\frac{2\sqrt{14} }{4\sqrt{7}+\sqrt[3]{2}}$

Answer 1

Respuesta:

$=\boxed{\dfrac{1568}{351231}\sqrt{2}-\dfrac{1}{351231}\sqrt{14}}$

Explicación paso a paso:

Primero debemos racionalizar la raíz cúbica

Entonces sabemos que

$(a^3+b^3)= (a+b)(a^2-ab+b^2)$

En nuestro ejercicio

$(a+b)=4\sqrt{7}+\sqrt[3]{2}\qquad\qquad debemos\ multiplicarlo\ por\\\\(a^2-ab+b^2)=(4\sqrt{7})^2-(4\sqrt{7}*\sqrt[3]{2})+(\sqrt[3]{2})^2 \qquad Entonces\\\\\\ (a+b)(a^2-ab+b^2)=[4\sqrt{7}+\sqrt[3]{2}]*[(4\sqrt{7})^2-(4\sqrt{7}*\sqrt[3]{2})+(\sqrt[3]{2})^2]\\\\ Aplicamos \ distributiva\\\\ =[4\sqrt{7}+\sqrt[3]{2}]*[(16.7-(4\sqrt{7}*\sqrt[3]{2})+(\sqrt[3]{2^2})]\\\\=112.4\sqrt{7}-16.7\sqrt[3]{2}+4\sqrt{7} \sqrt[3]{2}+16.7\sqrt[3]{2}-4\sqrt{7} \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^3}\\\\= 448\sqrt{7}+2$

Entonces nuestro nuevo denominador es el resultado del cálculo anterior, nuestro ejercicio quedaría asi

$\dfrac{2\sqrt{14}}{448\sqrt{7}+2}* \dfrac{{(448\sqrt{7}-2)} }{(448\sqrt{7}-2)}\qquad\to racionalizamos\\\\\\\dfrac{2\sqrt{14}(448\sqrt{7}-2)}{(448\sqrt{7})^2-(2)^2}=\dfrac{896\sqrt{14.7}-4\sqrt{14}}{448^2.7-4}= \dfrac{6272\sqrt{2}-4\sqrt{14}}{1404924} \to simplificado\\\\\\=\boxed{\dfrac{1568}{351231}\sqrt{2}-\dfrac{1}{351231}\sqrt{14}}$

Espero que te sirva, salu2!!!!