Question

Racionaliza las siguientes expresiones

$a) \\ \\ \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }$
$b) \\ \\ \frac{ 1-\sqrt{3} }{ 5\sqrt{2} }$
$c) \\ \\ \frac{ -3\sqrt{3} }{ 3+\sqrt{3} }$
$d) \\ \\ \frac{ -1+\sqrt{7} }{ -1+\sqrt{6} }$
$e) \\ \\ \frac{ \sqrt{5}+ \sqrt{3} }{ \sqrt{5}- \sqrt{3} }$
$f) \\ \\ \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{11} }{ \sqrt{10} - \sqrt{6} }$

Answer 1

Bueno la idea de la racionalización es quitar el radicando de la operación para ello vamos a multiplicar el denominador por el numerador y denominador eso seria
√3 * √ 2 y √3 * √3 , como tiene el mismo índice podemos decir que √ 3* 2 = √ 6 y que √3* 3 es lo mismo que decir √3² por que al cuadrado por que el numero se repite 2 veces.. y como hay una raíz y hay un cuadrado eso significa que se eliminan y nos dejan como resultado al 3 solo para finalizar nuestro resultado seria √6 / 3

$a) \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } } = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} } }*\frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } } = \frac{ \sqrt{2 * 3} }{ \sqrt{3 ^{2} } } } =\frac{ \sqrt{6} }{ {3} } }$

bueno en este caso vamos a hacerlo similar al anterior solo con una pequeña variación
ya que sabemos que el denominador se multiplica con el numerado y denominador
vamos a multiplicar -1√3 * 5√2  y 5√2 * 5√2, como sabemos que tiene un mismo índice podemos multiplicar -1 * 5√ 3* 2 y 5√2² esto nos daría como resultado -5√6 y 5√2² ahora miramos lo mismo que el anterior la raíz y el cuadrado se eliminan eso permite que el 2 salga y como el 5 lo acompaña significa que el 2 se va a multiplicar con el 5 y nos quedaría de resultado -5√6 / 10 bueno esta respuesta aun se puede simplificar y nos quedaría -1√6/2

$b) \frac{ -1 \sqrt{3} }{5 \sqrt{*2} } = \frac{ -1 \sqrt{3} }{5 \sqrt{2} }* \frac{ 5 \sqrt{2} }{5 \sqrt{2} } = \frac{ -1*5 \sqrt{3*2} }{5 \sqrt{2 ^{2} } } = \frac{ -5 \sqrt{6} }{5 *2} }= \frac{ -5 \sqrt{6} }{10} }$
la respuesta simplificada quedaría -1√6/2

bueno ahora en este vamos a multiplicar 3 -√ 3 por el numerador y denominador (ahora porque cambiamos signo pues el conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo cambiado)
Ahora hacemos una multiplicación normal -3√3 (3 - √3) y 3+√3 ( 3 - √3) y  nos quedaría -9 -√9 que es igual a -9 - √3² (lo descomponemos en factores para que sea mas fácil quitar la radical) y eliminamos la raíz con el cuadrado del 3 y nos quedaría -9-3 esto es igual a -12 y abajo en los denominadores lo podemos factorizar como una diferencia de cuadrados y el resultado nos queda 3² - √3² que es igual a 9 - 3  (Que paso con la raíz ? pues como el 3 estaba elevado al cuadrado y estaba en una raíz eso significa que se eliminan y queda el 3 solo) ahora solo resolvemos la resta (9 - 3) que el resultado seria 6 el resultado final seria -12 / 6 = 2

$c) \frac{ -3\sqrt{3} }{3+ \sqrt{3} } = \frac{ -3\sqrt{3} }{3+ \sqrt{3} } * \frac{ 3 - \sqrt{3} }{3- \sqrt{3} } = \frac{ -9- \sqrt{9} }{3 ^{2} - \sqrt{3 ^{2} } } = \frac{ -9\sqrt{3^{2} } }{9- 3} } = \frac{ -9 - 3 }{ 6 } = \frac{-12}{6}$ = -2

este caso es igual que el anterior

$d) \frac{-1+ \sqrt{7} }{-1 + \sqrt{6} } = \frac{-1+ \sqrt{7} }{-1 + \sqrt{6} } * \frac{-1- \sqrt{6} }{-1 - \sqrt{6} } = \frac{1+ \sqrt{6*7} }{-1^{2} - \sqrt{6^{2} } } = \frac{1+ \sqrt{42} }{1 - 6 } = \frac{1+ \sqrt{42} }{-5} }$

bueno en este caso cuando multiplicamos nos va quedar un trinomio cuadrado perfecto en la parte del numerador y luego operamos normal como lo hemos estado haciendo.

$e) \frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3} }{ \sqrt{5} - \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3} }{ \sqrt{5} - \sqrt{3} } * \frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3} }{ \sqrt{5} + \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{5^{2} } + \sqrt{30} + \sqrt{3^{2} } }{ \sqrt{5^{2}- \sqrt{3^{2} } } } = \frac{ 5 + \sqrt{30} + 3 }{ 5- 3 } } = \frac{8 + \sqrt{30} }{2}$

este caso es igual que el anterior.

$f) \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{11} }{ \sqrt{10} - \sqrt{6} } = \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{11} }{ \sqrt{10} - \sqrt{6} } * \frac{ \sqrt{10} + \sqrt{6} }{ \sqrt{10} + \sqrt{6} } = \frac{ \sqrt{70} + \sqrt{152} + \sqrt{66} }{ \sqrt{10^{2} } - \sqrt{ 6^{2} } } = \frac{ \sqrt{70} + \sqrt{2^{2} *2*19 } + \sqrt{66} }{10 - 6} =$
$\frac{ \sqrt{70}+ 2 \sqrt{2 * 19 } + \sqrt{66} }{4}$