Question

quiero resolver esta integralcita           integral((tan(x))/(x))dx[/tex]

Answer 1

integral de la tanx/x dx

se hace por parte, buscando hacer la integral mas facil

uv - la integral vdu

primero derivamos
haciendo u=tanx   y    du= sec cuadrado dx       dx= du/ sec cuadrdo

luego integramos la parte mas facil
dv= 1/x dx      v= ln x

sutituimos en la formula 
tanx lnx - la integral lnx (sec cuadrado de x)dx

integramos otra vez por parte 
hacemos u = ln x   du=1/x dx
dv= sec cuadrado de x      v= tanx

sustituimos
tanx lnx - ( lnx tanx - la integral de la tanx 1/x dx)

volvemos a integral
hacemos u= tanx (1/x)       du= tanx 1/xcuadrado + 1/x sec cuadrado de x
dv=dx    v=x

lo que se hizo arriba fue derivar por la derivada del producto e integramos dx

sustituimos

tanx lnx - (lnx tanx - (tanx 1/x x - la integral 1/x +1/x sec cuadrado de x dx x))
cacelamos las x 
tanx lnx - (lnx tanx -(tanx - la integral 1/x(1+sec cuadrado de x dx)x))
cacelamos la x de la integral, ahi se ve que es una integral facil de tabla

tanx lnx -(lnx tanx -(tanx - la integral 1+sec cuadrado de x dx))
tanx lnx - (lnx tanx -tanx + x - tanx)
tanx lnx - lnx tanx + tanx - x+ tanx

se cancela lo que se tiene que cancelar y queda
2 tanx + x