Question

QUIEN RESUELVE SE GANA 20 PUNTOS


Se dice que dos vectores a y b son ortogonales si a∙b=0.

Determine todos los valores de α y β tales que los vectores dados sean ortogonales.


ayuda please es un examen por favor.

Answer 1

ivelaci´on de Matem´atica MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con el sentido positivo de los mismos los versores: ~ı, ~, ~k, cuyas componentes son: ~ı = (1, 0, 0) ~ = (0, 1, 0) ~k = (0, 0, 1) y se llaman versores fundamentales. Todo vector A~ = (a1, a2, a3) puede escribirse en la forma: A~ = a1~ı + a2~ + a3 ~k Esta descomposici´on de un vector como suma de tres vectores en la direcci´on de los ejes coordenados es muy importante y ´util. Se llama descomposici´on can´onica de un vector. Ejemplos: 1) Vectores en el plano: dado el vector A~, con origen en P(−3, 5) y extremo en Q(4, 7); podemos escribirlo en funci´on de sus componentes como: A~ = (7, 2) = 7~ı + 2~ 2) Vectores en el espacio: dado un vector C~ , con origen en R(3, −1, 4) y extremo en S(0, 3, −2); podemos escribirlo en funci´on de sus componentes como: C~ = (−3, 4, −6) = −3~ı + 4~ − 6 ~k 3) ✲ x ✻y ✂ ✂ ✂ ✂ ✂ ✂ ✂ ✂✍ B~ = 2~ı + 6 O ✲ 2~ı 6~ ✻ 1. Producto escalar Se llama producto escalar o producto interno de dos vectores A~ = (a1, a2, a3) B~ = (b1, b2, b3), al escalar: A~ · B~ = a1b1 + a2b2 + a3b3 Observaci´on importante: el producto escalar entre dos vectores es un n´umero Ejemplos: 1) Si A~ 1 y A~ 2 son vectores de R2 con componentes A~ 1 = (−1, 2) y A~ 2 = (2, −9), entonces el producto escalar entre ellos es: A~ 1 · A~ 2 = (−1)2 + 2(−9) = −20 2) 1) Si B~ 1 y B~ 2 son vectores de R3 con componentes B~ 1 = (−3, −1, 7) y B~ 2 = (−2, 0, 1), entonces el producto escalar entre ellos es: Nivelaci´on de Matem´atica MTHA UNLP 2 B~ 1 · B~ 2 = (−3)(−2) + (−1)0 + 7 1 = 13 Propiedades: 1. A~ · B~ = B~ · A~ 2. A~ · (B~ + C~ ) = A~ · B~ + A~ · C~ 3. Si λ es un n´umero real cualquiera: (λA~) · B~ = A~ · (λB~ ) = λ(A~ · B~ ) 4. Si A~ es el vector nulo (A~ = O~ = (0, 0, 0)), entonces A~ · A~ = 0; si A~ es cualquier otro vector: A~ · A~ = |A~| 2 Todas estas propiedades son sencillas de demostrar usando la definici´on de producto escalar. Observaci´on: Para los versores fundamentales ~ı,~,~k, resulta que: ~ı ·~ı = ~ · ~ = ~k · ~k = 1 ~ı · ~ = ~ · ~k = ~k ·~ı = 0 Teorema 1: Si A~ y B~ son dos vectores perpendiculares, entonces: A~ · B~ = 0. ✲ x ✻y ✂ ✂ ✂ ✂ ✂ ✂ ✂ ✂✂✍ A~ + B~ O ✒ A~ ❅ ❅ ❅■ B~ ❅ ❅ 90◦ Si A~ y B~ son perpendiculares, A~ + B~ es la diagonal de un rect´angulo, cuyos lados miden |A~| y |B~ |. Luego: |A~ + B~ | 2 = |A~| 2 + |B~ | 2 (teorema de Pit´agoras) Como: |A~ + B~ | 2 = (A~ + B~ ) · (A~ + B~ ) = |A~| 2 + |B~ | 2 + 2A~ · B~ (por propiedades del producto escalar) Por lo tanto: 2A~ · B~ = 0 que es lo mismo que: A~ · B~ = 0 1.1. Angulo entre dos vectores ´ Dados dos vectores A~ = (a1, a2) y B~ = (b1, b2). Y αA es el ´angulo entre A~ y el eje x y αB el ´angulo entre B~ y el eje x. Las componentes de A~ son: a1 = |A~| cos αA y a2 = |A~|senαA. Las componentes de B~ son: b1 = |B~ | cos αB y b2 = |B~ |senαB. El ´angulo entre A~ y B~ es θ