Question

Quien me puede ayudar con estos ejercicios? son para un examen de mañana y me hacen falta:(

Answer 1

de los del 3er parcial

Para derivar primero usas la regla del producto
Derivada del 1er término * el 2do término + Deriv del 2do término * el 1er término

Entonces queda 
2x*(lnx)² +x²*((lnx)²)'

Para derivar el logaritmo tenes una composición de funciones usas regla de la cadena Te queda derivada de "la función de afuera" en este caso sería derivada de x² que da 2x Evaluada en "la función de adentro" que en este caso sería el logaritmo Hasta acá sería 2lnx luego multiplicas por "la derivada de la función de adentro" que en este caso sería la derivada de ln(x) que es 1/x, te queda 2ln(x)*1/x 


Para derivar el segundo Podes usar la regla del cociente
En gral. no la recuerdo entonces reescribo así

$y= \frac{x( x^{2} -1)}{ x^{2} } =(x( x^{2} -1))*( x^{2} ) ^{-1}$

luego uso la regla del producto, queda

$y'=(x( x^{2} -1))'*( x^{2} ) ^{-1}+(x( x^{2} -1))*(( x^{2} ) ^{-1})' \\ \\y'=(x^{3} -x)'* \frac{1}{ x^{2} } +(x( x^{2} -1))*( x^{-2} )'$

Luego derivo esos dos términos y ordeno, queda

$y'= (x^{2} -1)*\frac{1}{ x^{2} } +(x( x^{2} -1))*(-2)x^{-3} \\ \\y'= \frac{x^{2} -1}{ x^{2} } -2 \frac{x( x^{2} -1)}{x^{3}}$

Ej 3
Para hacer el limite distribuyo arriba queda y separo queda el lim cuando x tiende a cero de

$\frac{x^{4}- x^{2} }{ x^{3} } =x- \frac{1}{x}$

El límite de x cuando x tiende a cero es cero
El limite de -1/x cuando x tiende a cero depende de si es por derecha o por izquierda, es decir si me acero a cero desde los positivos 0,0001 0,000001 y así entonces el limite 1/x da más infinito, con el menos que está delante queda -infinito
Cuando me acerco a cero por izquierda es decir por los valores negativos -0,0001 -0,000001 etc El limite de 1/x da infinito y el lim de -1/x da +infinito

Como los limites laterales dan cosas distintas el limite no existe


En el 4to
Tenes una indeterminación del tipo "cero sobre cero" donde nom y denom son derivables
Aplico lhopital es decir derivo nom y denom queda el limite de

$\frac{10x+22}{10x-13}$

cuando x tiende a 3/5 me queda (10*3/5+22)/((10*3/5-13) es decir 28/(-7)=-4

Para el 5to también uso lhopital
al derivar el nominador queda -2x
Para derivar el denom uso regla de la cadena
Raíz es elevar a la 1/2 entonces al derivar la raíz baja el 1/2 y me queda lo que tenía a la 1/2-1=-1/2 después derivo lo de adentro que es x²+5 derivado da 2x
Entonces el denominador queda -(x²+5)^(-1/2) * 2x 

Todo el limite queda

$\frac{-2 x}{-2x( x^{2} +5)^{-1/2} } = \frac{1}{( x^{2} +5)^{-1/2} }=( x^{2} +5)^{1/2} \\ = \sqrt{ x^{2} +5}$

cuando x tiende a 2 es raíz de 4+5=9, luego el límite queda 3