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Respuestas a la pregunta
Respuesta:
a) No son perpendiculares
b) No son perpendiculares
c) Las rectas son perpendiculares
Explicación paso a paso:
Para determinar si dos rectas son perpendiculares debes de multiplicar sus pendientes, si y sólo si el resultado es -1, las rectas serán perpendiculares.
Las rectas serán perpendiculares si:
m1*m2=-1
a) 2x+5y+2=0 y 5x+2y-3=0
La ecuación general de la recta es de la siguiente forma:
y=mx+b
Donde m es la pendiente de la recta.
Así que para hallar la pendiente de las rectas debemos despejar a y en las ecuaciones de arriba.
2x+5y+2=0 5x+2y-3=0
5y=-2x-2 2y=-5x+3
y=(-2x-2)/5 y=(-5x+3)/2
y=-2/5x-2/5 y=-5/2x+3/2
m1=-2/5 m2=-5/2
Multiplicando las pendientes:
m1*m2=(-2/5)*(-5/2)=(-2*-5)/(5*2)=10/10
m1*m2=1
Como el resultado no es -1, las rectas no son perpendiculares.
b) 3x+2y-3=0 y 4x-3y+2=0
3x+2y-3=0 4x-3y+2=0
2y=-3x+2 3y=4x+2
y=(-3x+2)/2 y=(4x+2)/3
y=-3/2x-1 y=4/3x+2/3
m1=-3/2 m2=4/3
Multiplicando las pendientes:
m1*m2=(-3/2)*(4/3)=(-3*4)/(2*3)=-12/6
m1*m2=2
Como el resultado no es -1, las rectas no son perpendiculares.
b) x+y=0 y x-y=0
x+y=0 x-y=0
y=-x y=x
m1=-1 m2=1
Multiplicando las pendientes:
m1*m2=-1*1
m1*m2=-1
Como el resultado es -1, las rectas son perpendiculares.
Explicación paso a paso:
Hay que saber que una recta es perpendicular a otra si el producto de sus pendientes es igual a -1. Y son paralelas si sus pendientes son las mismas. Ahora bien, necesitamos conocer el modelo de la ecuación de una recta, el cuál es:
y=mx+b
donde m es la pendiente y b es el punto de inicio o donde intersecta con el eje Y.
a) 2x+5y+2=0 y 5x+2y-3=0
Primero despejemos Y y llevemos las ecuaciones a la forma antes mencionada:
2x+5y+2=0
5y=-2x-2
y=(-2x-2)/5
y= (-2/5)x-(2/5)
En esta recta -2/5 es la pendiente.
5x+2y-3=0
2y=-5x+3
y=(-5x+3)/2
y=(-5/2)x+(3/2)
En esta recta -5/2 es la pendiente.
Como se mencionó antes el producto de sus pendientes tiene que ser igual a -1. Por lo que:
Como el resultado es 1 positivo, las dos rectas no son perpendiculares.
b) 3x+2y-3=0. y. 4x-3y+2=0
Hacemos lo mismo que antes:
3x+2y-3=0
2y=-3x+3
y=(-3x+3)/2
y=(-3/2)x+(3/2)
La pendiente es -3/2
4x-3y+2=0
4x+2=3y
3y=4x+2
y=(4x+2)/3
y=(4/3)x+(2/3)
La pendiente es 4/3
Aunque el valor es negativo, no es igual a -1. Por lo que tampoco son rectas perpendiculares entre sí.
c)x+y=0. x-y=0
Hacemos lo mismo
x+y=0
y=-x
La pendiente es -1.
x-y=0
x=y
y=x
La pendiente es 1
(-1)(1)=-1
Ambas rectas son perpendiculares entre sí.
3.– Perpendicular a la Recta: -5x+3y-1=0,
P(2,3)
Primero averigüemos la pendiente de la recta que es perpendicular a ella.
-5x+3y-1=0
3y=5x+1
y=(5x+1)/3
y=(5/3)x+(1/3)
La pendiente es 5/3
Como sabemos que la pendiente es 5/3 y queremos que el producto con la otra pendiente sea -1. Tenemos que
(m1)(m2)=-1
m1=-1/m2
m1=-1/(5/3)
m1=-3/5
Esa es la pendiente de la recta perpendicular a esa ecuación.
Ahora, como nos dan un punto, usamos la ecuación punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta.
Donde x1,y1 son las coordenadas del punto. Sustituyendo:
(y-3)=(-3/5)(x-2)
y-3= -3(x-2)/5
5(y-3)=-3x+6
3x+5y-15-6=0
3x+5y-21=0
Esa es la ecuación que buscábamos.
4.– Ecuación paralela a la recta 4x-2y+3=0, P(1,-1)
Haciendo lo mismo tenemos:
4x-2y+3=0
4x+3=2y
2y=4x+3
y=(4x+3)/2
y=(4/2)x+(3/2)
y=2x+(3/2)
La pendiente es 2.
Como buscamos una recta paralela, entonces su pendiente es la misma. Y volviendo a usar la ecuación de punto-pendiente obtendremos la ecuación de la recta.
(y-(-1))=2(x-1)
y+1=2x-2
–2x+y+1+2=0
–2x+y+3=0
Y esa es la ecuación de la recta paralela.
Espero te sirva :)