quien me ayuda por favor
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
α=64°
Explicación paso a paso:
Se adjuntan dos archivos que contienen 8 figuras, cada una de las cuales es explicada detalladamente, a continuación:
Figura 1:
El ángulo ABC mide 84°. Hallar la medida del ángulo α. Notemos que entre A y B se forma un arco y también entre P y C.
Figura 2:
Trazamos dos circunferencias de acuerdo a la dirección de cada arco, de tal forma que C1 circunscriba los puntos A, B y C; y C2 circunscriba los puntos C y P
Figura 3:
Observamos que el ángulo ABC, cuya medida es 84° subtiende el arco (AC) (línea roja punteada) mediante las secantes CB y AB (líneas rojas). Aplicamos la propiedad del ángulo inscrito en la circunferencia, y establecemos que el arco (AC) mide 168° o sea, el doble de 84°. (la medida del ángulo inscrito en la circunferencia es la mitad de la medida del arco que subtiende)
Figura 4:
Denominamos “x” al ángulo CAB que está en el vértice A y observamos que es un ángulo inscrito que subtiende el arco (CB), mediante las secantes AB y AC (líneas color naranja). En aplicación de la propiedad del ángulo inscrito en la circunferencia, podemos establecer que dicho arco mide 2x (línea punteada naranja)
Figura 5:
El ángulo ACB, formado por las secantes CB y CA (líneas color verde) subtiende al arco AB (línea punteada verde). Si la vuelta completa mide 360° y tenemos un arco AC que mide 168° y un arco CB que mide 2x, entonces el arco AB medirá 360-168-2x, es decir 192°+2x. Por tanto, el ángulo inscrito que lo subtiende, medirá la mitad, o sea 96-x
Figura 6:
Tracemos el segmento DC (línea marrón) como paralelo al segmento AB. Prolonguemos el segmento BP hasta el punto D (línea azul). La secante BD (línea azul) interseca la secante AC y se forman los ángulos α y α (opuestos por el vértice), así como también los ángulos β y β; igualmente, tenemos que el ángulo CAB, es alterno interno con el ángulo DCA, por tanto, este será también x.
Por otra parte, el ángulo inscrito CDB subtiende al arco CB, del cual sabemos que mide 2x, o sea que el ángulo CDB mide x. Este ángulo CDB es alterno interno con el ángulo DBA o sea que también medirá x.
Consideremos que el ángulo CBA que mide 84°, está formado por los ángulos CBD y DBA que mide x; por tanto, CBD medirá 84-x. Dicho ángulo CBD es otro ángulo inscrito que subtiende al arco CD (línea punteada azul), por lo que dicho arco medirá el doble de 84-x, es decir 168-2x.
Si aplicamos la propiedad de los arcos en cuerdas paralelas en la circunferencia, tenemos que el arco (AD) mide igual al arco (CB) por tanto, (AD)=2x. (línea punteada marrón); conocemos entonces las medidas de los arcos CB y AD
Para saber la medida del ángulo interior Alpha, debemos aplicar la propiedad que dice que su valor es la semisuma de los arcos CB y AD; es decir:
α=(2x+2x)/2=4x/2=2x
Figura 7:
Ahora que sabemos la medida de α, nos ubicamos en la circunferencia C2. Prolonguemos los segmentos hasta obtener PE, CF y AK. El ángulo α, que mide 2x, es en C2 un ángulo inscrito que con las secantes PC y PE (líneas moradas) subtiende el arco CE (línea punteada morada). Por propiedad, dicho arco CE medirá el doble del ángulo α, es decir 4x.
Figura 8:
A su vez, el ángulo en vértice C (<PCF, líneas doradas), es también inscrito en la circunferencia 2 y subtiende al arco PF (línea punteada dorada). Sabemos que el ángulo en vértice C mide 96-x, por lo tanto, según la propiedad del ángulo inscrito, el arco subtendido medirá el doble, es decir 192-2x.
Observemos que el ángulo CHE o B, es opuesto por el vértice con el ángulo PHF que también será B. Cada uno de estos dos ángulos iguales subtiende respectivamente los arcos de medidas 4x y 192-2x. Dichas medidas también son iguales, por lo que podemos plantear:
192-2x=4x
192=6x
x=192/6=32
Si x mide 32 y α=2x, entonces α=2*32; o sea α=64°
