Question

que son las ecuaciones diferenciales de segundo orden, por favor.

Answer 1

Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma

Si 

se llama Ecuación homogénea, como por ejemplo

Si 

se llama Ecuación no homogénea, como por ejemplo

1) DEFINICIÓN DE INDEPENDENCIA LINEAL

Se dice que las funciones son linealmente independientes si la única solución de la ecuación

Donde En caso contrario, las funciones son linealmente dependientes.

Ejemplos:

1) Las funciones ; para ser linealmente independientes debe cumplir

Remplazando los valores de las funciones se obtiene

Como los únicos valores posibles de para que cumpla la igualdad es entonces las funciones ; son linealmente independientes

2) Las funciones ; para ser linealmente independientes debe cumplir

Remplazando los valores de las funciones se obtiene

Como uno de los posibles valores de para que cumpla la igualdad pueden ser entonces las funciones ; son linealmente dependientes

Si son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial

, entonces, la solución general es

Donde son las constantes

Además por ser ecuación diferencial de segundo orden se tiene soluciones de la forma

Entonces

Remplazando en se tiene

Factorando

Como nunca se anula, es una solución si y solo si 

Ejemplo ilustrativo

Resolver la ecuación diferencial 

Solución:

Se obtiene la ecuación característica, para lo cual se sustituye por , por , e por 1 para obtener una ecuación de la forma 

Por lo tanto la ecuación característica de es 

Resolviendo la ecuación se tiene 

Entonces

Que son las soluciones particulares de la ecuación diferencial

Además, como estas dos soluciones son linealmente independientes la solución general es

Graficando para valores arbitrarios se tiene

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