Question

¿Que signo toma el producto punto entre dos vectores según el angulo que se forma entre estos? ¿Que interpretación física se puede dar en cada caso? Proporciona ejemplos R² ó R³ que contemplen tu justificación?​

Answer 1

Al responder las preguntas se obtiene:

¿Qué signo toma el producto punto entre dos vectores según el ángulo que se forma entre estos?

El producto punto o escalar de dos vectores esta definido por la siguiente formula:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = | \overrightarrow{u}| \overrightarrow{v}| \cos(\alpha)$

El producto punto toma el signo según el ángulo que formen los vectores:

• Entre [0° a 90°] positivo
• Entre [90° a 180°] negativo
• Entre [180° a 270°] negativo
• Entre [270° a 360°] positivo

• Si en ángulo es 90° o 270° el producto es 0.

¿Qué interpretación física se puede dar en cada caso?

El producto punto cuando es distinto de cero es la proyección de un vector sobre el otro.

Ejemplo:

$\overrightarrow{u} = (2,-3,5)$

$\overrightarrow{v} = (6,-1,0)$

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = (2)(6)+(-3)(-1)+(5)(0)\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =12+3\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =15$

$(\alpha) = \cos^{-1} (\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|})$

siendo;

$|\overrightarrow{u}|= \sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+5^{2}} = \sqrt{38} \\|\overrightarrow{v}| =\sqrt{6^{2}+(-1)^{2}+0^{2}} = \sqrt{37}$

sustituir:

$(\alpha) = \cos^{-1} (\frac{15}{\sqrt{38}\sqrt{37}})$

α = 66.419°

Ejemplo:

$\overrightarrow{u} = (2,3)$

$\overrightarrow{v} = (-2,-3)$

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = (2)(-2)+(3)(-3)\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =-4-9\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =-13$

$(\alpha) = \cos^{-1} (\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|})$

siendo;

$|\overrightarrow{u}|= \sqrt{2^{2}+(3)^{2}} = \sqrt{13} \\|\overrightarrow{v}| =\sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}} = \sqrt{13}$

sustituir:

$(\alpha) = \cos^{-1} (\frac{-13}{\sqrt{13}\sqrt{13}})$

α = 180°

Ejemplo:

$\overrightarrow{u}=(3,0)$

$\overrightarrow{v} = (0,-3)$

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =(3)(0)+(0)(-3)\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =3-3\\\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =0$

$(\alpha) = \cos^{-1} (\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|})$

siendo;

$|\overrightarrow{u}|= \sqrt{3^{2}+(0)^{2}} = 3\\|\overrightarrow{v}| =\sqrt{0^{2}+(-3)^{2}} =3$

sustituir:

$(\alpha) = \cos^{-1} (\frac{0}{9})$

α = 90°