Question

Que significa la constante que se agrega en la solucion de una integral?

Answer 1

Cuando hablamos de integral indefinida o primitiva de una función $f(x)$, buscamos una función $F(x)$ tal que

$F'(x)=f(x)$

Es decir, estamos buscando una función desconocida, que al derivarla, nos de una función que conocemos.

Por ejemplo, si yo busco la primitiva de $x^{2}$, estoy buscando una función cualquiera que, al derivarla, me resulte en $x^{2}$. En este caso, una primitiva de $x^{2}$ puede ser $\frac{x^{3} }{3}$ ya que

$(\frac{x^{3} }{3})' =\frac{1}{3} 3x^{2} =x^{2}$

Pero resulta que no solo hay una única primitiva, porque, por ejemplo,

$(\frac{x^{3} }{3} +1)'=(\frac{x^{3} }{3})' +(1)'=\frac{1}{3} 3x^{2} +0=x^{2}$

Como la derivada de un número es 0, a mi primitiva puedo sumarle o restarle cualquier número sin alterar el resultado de la derivada. Es por ello que hay infinitas primitivas de una función (tantas como números hay).

De esta forma, utilizamos un parámetro o constante de integración que nos indica que la primitiva es válida para cualquier valor de esa constante. Así

$\int\limits{x^{2} } \, dx =\frac{x^{3} }{3} +C\\\\\text{donde C es cualquier numero perteneciente a los reales}$