Question

Qué relación tiene cada una de las filas del Triángulo de Pascal con el desarrollo de las potencias? ayuda porfa
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Answer 1

Explicación paso a paso:

El triángulo de pascal se desarrolla escribiendo unos en las esquinas y sumando por parejas desde la fila de más arriba de esta forma:

$1 \\ 1 \: \: \: 1 \\ 1 \: \: \: \: 2 \: \: \: 1 \\ 1 \: \: \: 3 \: \: \: 3 \: \: \: 1 \\ 1 \: \: \: \: 4 \: \: \: \: 6 \: \: \: \: 4 \: \: \: \: 1$

Así sucesivamente, la relación que tiene las filas con el desarrollo de potencias es que nos brinda los coeficientes que acompañan a las potencias de x e y en un binomio de Newton.

$1 \: \rightarrow {(x + y)}^{0} = 1\\ \ 1 \: \: \: 1\rightarrow {(x + y)}^{1} = 1x + 1y\\ 1 \: \: \: \: 2 \: \: \: 1\rightarrow {(x + y)}^{2} = 1 {x}^{2} + 2xy + 1 {x}^{2} \\ 1 \: \: \: 3 \: \: \: 3 \: \: \: 1\rightarrow {(x + y)}^{3} = 1 {x}^{3} + 3 {x}^{2} y + 3x {y}^{2} + 1 {y}^{3} \\ 1 \: \: \: \: 4 \: \: \: \: 6 \: \: \: \: 4 \: \: \: \: 1\rightarrow {(x + y)}^{4} = 1 {x}^{4} + 4 {x}^{3} y + 6 {x}^{2} {y}^{2} + 4x {y}^{3} + 1 {y}^{4}$

El triángulo nos da los números que acompañan a x e y conforme el grado de x se reduce desde el exponente dado y el grado de y empieza a incrementarse hasta la exponente dado.

Esto es así por el teorema del binomio.

${(x + y)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} {x}^{n - k} {y}^{k}$

Donde:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k !(n - k)!}$

Esta expresión es la que nos dá cada uno de los números del triángulo de Pascal y es por esto que los coeficientes del desarrollo del binomio coinciden con los hallados en el triángulo.