¿ Que importancia tiene el uso de métodos para resolver ecuaciones ?
Respuestas a la pregunta
Tengo la impresión, en mis 20 años de trabajo como profesor, que generalmente los estudiantes menosprecian los métodos que conducen a la solución aproximada del problema. Y digo que tengo la impresión pues no conozco de estudios realizados al respecto.
Sin embargo no debemos culpar a los estudiantes por esa valoración ya que si calculamos el tiempo que se dedica a enseñarles métodos exactos de solución a lo largo de toda la enseñanza incluyendo la educación superior, obtendremos que el tiempo dedicado a la enseñanza de métodos aproximados es mínimo en comparación con el dedicado a métodos exactos, mientras que en la práctica ocurre por ejemplo que hay autores que señalan que sólo se pueden resolver por métodos exactos no más del 5 % de las ecuaciones diferenciales que se pueden presentar. Si a la contradicción anterior le sumamos que no siempre los profesores le demuestran a los estudiantes la importancia de los métodos aproximados, entonces el estudiante obviamente llega a pensar que lo más importante son los métodos exactos.
Sucede pues que se dedica mucho tiempo a estudiar gran cantidad de métodos llamados exactos que realmente resuelven un grupo pequeño de problemas, en lugar de dedicar más tiempo a estudiar métodos aproximados que aunque sean relativamente pocos en cantidad , pueden sin embargo aplicarse a un gran número de problemas.
Un ejemplo de problema que no puede ser resuelto por un método exacto es la búsqueda de las soluciones de ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro, lo cual fue demostrado por Galois (1811-1832) y sin embargo las ecuaciones de grado superior al cuatro aparecen con frecuencia en problemas técnicos y científicos, por ejemplo, en la aerodinámica aplicada, en el estudio de las condiciones de estabilidad de un avión, interviene una ecuación de octavo grado.
Hay que llevarle al estudiante la idea de que no solamente la mayoría de los problemas no pueden ser resueltos por métodos exactos, sino que existen también problemas cuya solución por un método exacto, aunque es posible, es más laboriosa y engorrosa que mediante la utilización de un método aproximado. Por ejemplo para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales del tipo
Si se disponen de métodos exactos o directos como lo es la regla de Cramer, la gran cantidad de cálculos que se requieren para evaluar los determinantes, aunque el sistema sea de bajo orden, es mucho mayor que el número de operaciones que requiere por ejemplo un método aproximado como lo es el método de eliminación de Gauss, digamos que para n = 10 la aplicación de la regla de Cramer requiere aproximadamente 40 000 000 multiplicaciones, en tanto que el método de Gauss requiere aproximadamente 300 multiplicaciones y divisiones.
Estamos hablando de métodos exactos y Métodos aproximados, cuando lo correcto es hablar de Métodos analíticos y Métodos numéricos respectivamente, puesto que exacto hay muy poco en la vida. Digamos que cuando decimos que el largo de una mesa es de 4m. , esa medida no es exacta, pues ella incluye un cierto error, me refiero al error que introducen los ojos como órganos de la visión más el error del propio instrumento de medición que se use.
Cuando trabajamos con un sistema de ecuaciones lineales como modelo matemático de un circuito eléctrico para hallar los valores de la intensidad de la corriente, los coeficientes de las ecuaciones del sistema, son valores de las resistencias y los términos independientes son los valores de las fuentes de voltajes, ambos tipos de valores producto de ser obtenidos mediante mediciones llevan implícitos errores de los equipos de medición y de nuestros órganos de la vista, de ahí que el modelo matemático es aproximado, pero además el hecho de que sea un modelo ya encierra un determinado tipo de error, ya que todo modelo es ante todo una aproximación del objeto que modela, de lo contrario no sería un modelo. Lo que nos interesa entonces es encontrar un buen modelo, es decir una buena aproximación, o sea tratar de disminuir el error pero sin que deje de ser una aproximación pues en caso contrario no se trataría entonces de un modelo como método de investigación de la realidad objeto de estudio.
Tenemos pues que un modelo matemático es una aproximación, entonces al resolverlo por un mal llamado método exacto, la solución no puede ser tampoco exacta y mucho menos si tenemos en cuenta las operaciones de redondeo que hay que introducir al realizar operaciones aritméticas con los números que resultan, números que al ser también aproximados van propagando el error de cálculo. Vemos pues que no es lógico hablar de Métodos exactos ya que en ningún momento la solución que se obtiene es exacta.
Lo lógico es hablar de Métodos analíticos y de Métodos numéricos, estos últimos son agrupados en la disciplina matemática que se denomina Matemática Numérica o Matemática de Cálculo.
Respuesta:
Tengo la impresión, en mis 20 años de trabajo como profesor, que generalmente los estudiantes menosprecian los métodos que conducen a la solución aproximada del problema. Y digo que tengo la impresión pues no conozco de estudios realizados al respecto.
Explicación paso a paso:
Espero que te ayude