Qué es una línea geodésica
Respuestas a la pregunta
Respuesta:En geometría, la línea geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie. El plano osculador de la geodésica es perpendicular en cualquier punto al plano tangente a la superficie.
Explicación:Supongamos la superficie
⎧⎩⎨⎪⎪x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)
La longitud de la línea que une dos puntos A y B y que está contenida en dicha superficie es
L=∫ABds=∫ABdx2+dy2+dz2√dx=∂x∂udu+∂x∂vdv, dy=∂y∂udu+∂y∂vdv, dz=∂z∂udu+∂z∂vdvdx2=(∂x∂u)2du2+(∂x∂v)2dv2+2∂x∂u∂x∂vdudvdy2=(∂y∂u)2du2+(∂y∂v)2dv2+2∂y∂u∂y∂vdudvdz2=(∂z∂u)2du2+(∂z∂v)2dv2+2∂z∂u∂z∂vdudvL=∫AB[(∂x∂u)2+(∂y∂u)2+(∂z∂u)2]du2+[(∂x∂v)2+(∂y∂v)2+(∂z∂v)2]dv2+2[∂x∂u∂x∂v+∂y∂u∂y∂v+∂z∂u∂z∂v]dudv⎷L=∫ABP+R(dvdu)2+2Qdvdu√⋅du=∫ABP+Rv˙2+2Qv˙√⋅du
Emplemos el cálculo de variaciones para determinar la curva que pasa por los puntos A y B contenida en dicha superficie y cuya longitud L sea mínima. Vamos a considerar dos casos particulares:
P y R son funciones de u y Q=0
La función integrando, f(u,v˙), no depende de v. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe
∂f∂v˙=c1Rv˙P+Rv˙2√=c1R2(dvdu)2=c21(P+R(dvdu)2)v=c1∫P−−√R2−c21R−−−−−−−−√du+c2
P y R son funciones de v y Q=0
La función integrando, f(v,v˙), no depende de u. La ecuación de Euler-Lagrange se escribe
f−∂f∂v˙v˙=c1P+Rv˙2−−−−−−−√−Rv˙2P+Rv˙2√=c1P2−Pc21=R(dvdu)2u=c1∫R−−√P2−c21P−−−−−−−−√dv+c2
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