Question

Que es una integral por cambio de variable?

Answer 1

El cambio de variable es una técnica de integración. En el cambio de variable asignamos a una expresión el valor de un parámetro para transformar la integral en una más sencilla. Solemos utilizar este método cuando vemos que en la integral tenemos una función y su derivada.

Por ejemplo.

$\int\limits {\frac{1}{e^{x}+1 }e^{x} } \, dx$

Esta integral no la podemos resolver de manera inmediata, pero vemos que la derivada de $e^{x} +1$ no es más que $e^{x}$. Entonces, asignamos $t$ a $e^{x} +1$

$t=e^{x} +1$

Si derivamos ambos lados de la ecuación, tenemos que

$dt=e^{x}dx\\\\\text{Nota: incluimos dx porque en estamos derivando con respecto de x, no de t}$

Si ahora sustituimos $t$ y $dt$ en la integral, tenemos

$\int\limits {\frac{1}{e^{x}+1 }e^{x} } \, dx=\int\limits {\frac{1}{t } } \, dt$

Ahora la integral es con respecto de $t$ y se puede resolver de manera inmediata

$\int\limits {\frac{1}{t } } \, dt=ln|t|$

Revertimos el cambio de variable $t=e^{x} +1$

Así

$\int\limits {\frac{1}{e^{x}+1 }e^{x} } \, dx=ln(e^{x} +1)$

Esta es una integral resuelta por cambio de variable