Question

que es la derivada limite y continuida

Answer 1

Idea de límite de una función en un punto : Sea la función y = x2 . Si x tiende a 2 a

qué valor se aproxima y :

x ® 2- 1'8 1'9 1'99 1'999

y ® 3'24 3'61 3'9601 3'996001

x ® 2+ 2'2 2'1 2'01 2'001

y ® 4'84 4'41 4'0401 4'004001

Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los valores de y se acercan cada vez más a 4 . Esta idea se suele expresar así :

lim x2 4

x 2

= ® -

(límite lateral por la izquierda)

lim x2 4

x 2

= ® +

(límite lateral por la derecha) Cuando el límite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que

existe límite en ese punto y es :

lim x2 4

x 2 = ®

Si los límites laterales en x = x0 son distintos entonces f no tiene límite en ese punto .

Definición intuitiva de límite : dada una función f , el límite de f cuando x tiende a x0

es el valor al que se aproximan las imágenes mediante f de los puntos x cuando éstos se

aproximan al valor de x0 .

Definición matemática de límite : una función f tiene límite l cuando x tiende a x0 si es posible conseguir que f(x) esté tan próximo a l como se quiera al tomar x

suficientemente próximo a x0 ( tanto como sea necesario ) pero siendo x ¹ x0 .

Decir que "f(x) se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia

de f(x) a l es menor que cualquier valor e por pequeño que este sea , es decir /f(x)- l/<e.

Decir que "la variable x toma valores suficientemente próximos a x0 " equivale a decir

que dependiendo de la proximidad de f(x) a l , así deberá estar más o menos próximo x

a x0 para que se cumpla la hipótesis /f(x)- l/<e , es decir , debe de existir un d tal que /xx0/<

d .

Por lo tanto se dice que una función f(x) tiene límite l cuando x tiende a x0 , si para

cualquiera que sea el número e se puede encontrar otro número d tal que / f (x) - l / < e

para todo x que verifique / x - x / <