Question

que es el incremento relativo de una funcion, por favor.

Answer 1

La funcion seria "y" que es f(x). 
al ser relativo significa que esa cantidad se expresa tantas veces otra 
el tema es cuanto crece "y" al crecer "x" una cantidad deltaX (o incremento de "x"). 
por eso se hace la division deltaY sobre deltaX, o bien incremento de y sobre incremento de "x" 
deltaX esta bajo tu control y le pones el valor que se te ocurra, y te interesa saber como crecera "y" en funcion de ese incremento que le des a "x". 

y=f(x) es la funcion general expresada sobre un valor generico de "x" 
si incrementas un poco x tendras x+deltaX y f(x+deltaX) dara un nuevo "y" que podemos llamar y2. 
deltaY es el incremento de "y" cuando incrementamos "x" o sea y2-y= f(x+deltaX)-f(x) 
deltaX es el incremento de "x" que como es la variable independiente, significa que esta bajo nuestro control. 

y dividimos deltaY/deltaX para hallar ese valor "relativo" sobre el incremento de una funcion. 

Siempre se divide por deltaX porque queres expresar el crecimiento de la funcion con respecto al crecimiento de su variable independiente "x" y asi ves facil que tan rapido crece la funcion al avanzar en el eje "x". Si por ejemplo no crece nada la relacion sera = cero, si la funcion crece esa relacion sera positiva y si decrece sera negativa. Y la funcion-relacion que resulte te dara una idea sobre la rapidez de ese crecimiento. En el ejemplo que desarrollaste la relacion era 2X+deltaX. Si deltaX tiende a cero (lo haces tan pequeño como puedas), la relacion sera 2X. En el punto x=0 la funcion tampoco crecera haciendo deltaX infinitesimalmente pequeño. En el punto x=1 la funcion crecera el doble de rapido que "x" y en x=10 la funcion crecera 20 veces mas rapido que "x", quedando claro que esa rapidez de su crecimiento depende de donde estes situado en el eje x. 
Por eso deltaY depende de "X" y tambien de deltaX ya que queda un "residuo" en la funcion-relacion que era 2X+deltaX (ahi ves que estan los dos). En la practica dejan solamente al X mientras que eliminan todo lo que vaya con deltaX, para simplificar las cosas pero eso que se quita constituira un error en los calculos que puede minimizarse con un deltaX muy pequeño (eso y mas se estudia en calculo numerico donde importa mucho limitar el error a valores aceptables). 


Tambien debes ver que los terminos que no dependen de X se van en la resta porque quedan iguales (no se ven afectados por el deltaX), quedandote solo el X y deltaX, y con ingenio se pueden separar el X y el deltaX para poder dividirlo siempre por deltaX que estaba en el denominador. 

No tiene sentido dividir por 3 ya que es un termino de la funcion y no tiene nada que ver con "x". Siempre dividiras por deltaX para expresar a deltaY que es el crecimiento de la funcion con respecto a deltaX que es el crecimiento de la variable independiente. 


Ese 2X sin el deltaX (porque lo haces increiblemente pequeño que ya no cuenta) es util porque te permite *estimar* el crecimiento de la funcion para un deltaX mas o menos grande, pero mientras mayor el deltaX implicara un error mas grande. Supongamos que estas parado en x=1 y queres saber cuanto vale la funcion de tu ejemplo x^2+3 para x=2 sin hacer f(2) porque no tenes ganas de trabajar con x^2... El incremento de "x" seria 1 y el incremento de "y" lo queres estimar ya que no te dara el valor exacto pero si una aproximacion con un cierto error que te servira igual considerando que es mas facil de hallar y sirve como calculo rapido. Si hallas el incremento de "y" lo sumas al f(1) que ya tenes a mano y hallas el f(2) que te interesa. Si deltaY/deltaX era la funcion-relativa de crecimiento, deltaY sera = deltaX * funcion-relativa-crecim. 
Entonces f(2) es mas o menos igual a f(1) + 2X*deltaX que es f(1)+2*1 porque deltaX es 1. f(1) es 4 y la estimacion da 6. El valor exacto seria 2^2+3=7. La estimacion le pifio por uno pero su calculo fue ultra facil. Imaginate si la funcion fuese mucho mas dificil. El uso de la estimacion ayudaria mucho a simplificar los calculos, y el error cometido seria aceptable en la medida que deltaX fuese pequeño. Por ejemplo f(1.1) cuanto seria? habria que tomar una calculadora... pero con este metodo haces f(1)+2*1*0.1=4+0.2=4.2 que es el valor estimado. El valor exacto f(1.1) da 4.21. El error se hizo mucho menor y ese valor sirve bastante considerando lo facil que fue calcularlo. 

Cuando deltaX tiende a cero, en su limite deltaY/deltaX seria la *derivada* de la funcion en el punto (x,y). 

El deltaY estimado a partir de la derivada de la funcion se llama diferencial y su uso en la fisica es muy abundante para resolver problemas. El deltaY se llamaria diferencial de y o bien dy ya que es una estimacion, y al deltaX lo llaman ahora diferencial de X. Quedaria dy= derivada de la funcion * dx.

Realmente espero que te sirva.
Créditos: Conocimiento de un amigo.