Question

Que distancia hay que recorrer desde el pie de un edificio de 78.5m de alto para verlo bajo un ángulo de 63°30'

Answer 1

Se debe recorrer una distancia de aproximadamente 39,139 metros para observar al edificio con el ángulo dado

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.      

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura del edificio, el lado BC que representa la distancia desde el punto de observación al pie del edificio y el lado AC es la proyección visual hasta el extremo más alto del edificio con un ángulo de elevación de 63° 30'

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto

Como el ángulo de elevación está dado en grados y minutos, lo vamos a convertir a grados decimales para poder trabajar con el ángulo dado

Donde 63 representa a 63°

Convertimos los 30' sabiendo que

$\boxed{ \bold { 1 \ minuto = \frac{1}{60} \ grados}}$

$\boxed{ \bold { 30 \ minutos \ .\ \frac{1}{60} \ grados}}$

$\boxed{ \bold { \frac{30}{60} = \frac{1}{2} = 0,5 }}$

En donde agregamos al entero 63 el decimal obtenido

Obteniendo en grados decimales

$\boxed{ \bold { 63,5\° }}$

Solución:

Conocemos la altura del edificio y de un ángulo de elevación de 63,5° (expresado en decimales)

Altura del edificio = 78,5 m

Ángulo de elevación = 63,5°

Debemos hallar la distancia hasta el pie del edificio

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y el cateto adyacente (lado BC)

Como sabemos el valor del cateto opuesto (lado AB) que representa la altura del edificio asimismo conocemos el ángulo de elevación que se forma desde el punto de observación hasta el extremo más alto del edificio y se pide hallar la distancia que hay que recorrer desde el pie del edificio para verlo bajo el ángulo de elevación dado; podemos relacionar los datos que tenemos con la tangente del ángulo

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(63,5)\° = \frac{cateto \ opuesto}{ cateto \ adyacente} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold { tan(63,5)\° = \frac{altura \ del \ edificio}{ distancia\ al \ edificio} = \frac{AB}{BC} }}$

$\boxed { \bold { distancia\ al \ edificio \ (BC)= \frac{altura \ del \ edificio}{ tan(63,5)\° } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ al \ edificio \ (BC)= \frac{78,50 \ metros}{ tan(63,5)\° } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ al \ edificio \ (BC)= \frac{78,50 \ metros}{2,0056897082590 } }}$

$\boxed { \bold { distancia\ al \ edificio \ (BC)\approx 39,13865 \ metros }}$

$\boxed { \bold { distancia\ al \ edificio \ (BC)\approx 39,139 \ metros }}$

La distancia al pie del edificio es de aproximadamente 39,139 metros