Question

¿Qué altura podrá alcanzar un proyectil disparado hacia arriba desde la superficie de la tierra con una velocidad de 90Km/h y cuánto tiempo permanecerá en el aire?​

Answer 1

El proyectil alcanza una altura máxima de 31.89 metros

El tiempo de vuelo es de 5.10 segundos, luego permanecerá en el aire ese instante de tiempo

Se trata de un problema de tiro vertical

En el tiro vertical un objeto es lanzado verticalmente con determinada velocidad inicial hacia arriba o hacia abajo

Se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) o movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) en el que la aceleración coincide con el valor de la gravedad.

La aceleración de la gravedad se puede considerar constante y dirigida hacia abajo.

Si se establece un sistema de referencia en el plano cartesiano el objeto se encuentra sobre el eje y, donde  $\bold { y_{0} = H }$

Y donde el cuerpo parte con determinada velocidad inicial, siendo su aceleración constante y esta toma el valor de la gravedad.

$\large\textsf{Donde se pueden tener dos casos seg\'un el sistema de referencia }$

$\large\textsf{Tiro vertical hacia arriba } \bold { \ donde \ la \ velocidad \ inicial\ V_{0} > 0 }$  

Siendo las ecuaciones

$\boxed {\bold { y = H \ + \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\textsf{ Donde} \ \ { \bold { a= g } \ \textsf{ y es siempre constante} }$

$\large\textsf{Tiro vertical hacia abajo } \bold { donde \ la \ velocidad \ inicial\ \ V_{0} < 0 }$

Siendo las ecuaciones

$\boxed {\bold { y = H \ + \ V_{0} \ . \ t \ -\frac{1}{2} \ g \ . \ t^{2} }}$

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

$\textsf{ Donde} \ \ { \bold { a= g } \ \textsf{ y es siempre constante} }$

Solución

Convertimos la velocidad de kilómetros por hora a metros por segundo

$\boxed {\bold {V= 90 \ \frac{\not km}{\not h} \ . \ \left(\frac{1000\ m }{1\ \not km }\right) \ . \ \left(\frac{1\ \not h }{3600\ \s }\right)= \frac{90000}{3600} \ \frac{m}{s} = 25 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed {\bold {V= 90\ \frac{km}{h} = 25 \ \frac{m}{s} }}$

Hallamos la altura máxima alcanzada por el proyectil

$\large\textsf{Se tiene un tiro vertical hacia arriba }$

La altura máxima está dada por la ecuación:

Se toma un valor de gravedad de 9.8 m/s²

$\large\boxed {\bold {H_{MAX} = \frac{(V_{0})^{2} }{2g} }}$

$\boxed {\bold {H_{MAX} = \frac{(25 \ \frac{m}{s} )^{2} }{2 \ . \ 9,8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {H_{MAX} = \frac{625 \ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2} } }{ 19.6 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold {H_{MAX} = 31.8877 \ m }}$

$\large\boxed {\bold {H_{MAX} = 31.89\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 31.89 metros

Veamos el tiempo que empleó en alcanzar la altura máxima

El tiempo que tarda el objeto en subir está dado por:

$\large\boxed {\bold {V_{f} \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t }}$

Cuando el proyectil alcanza su altura máxima ya no sube más y en ese instante de tiempo su velocidad final es cero

$\bold { V_{f} = 0 }$

$\boxed {\bold {V_{f} = 0 \ = \ V_{0} \ - \ g \ . \ t_{subida} }}$

$\large\textsf{Despejando el tiempo que tarda en subir }$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{V_{0} }{g} }}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{25 \ \frac{\not m}{\not s} }{ 9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = 2.55\ segundos }}$

El tiempo necesario para alcanzar la altura máxima es el tiempo de subida del proyectil el cual es de 2.55 segundos

Hallando el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire

Como el tiempo que tarda un cuerpo en subir es el mismo que tarda en bajar luego

$\large\textsf{El tiempo de permanencia en el aire es }$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = t_{vuelo} }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 2\ t_{subida} }}$

$\textsf{Reemplazando }$

$\boxed {\bold {t_{aire} = 2\ . \ (2.55 \ s ) }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 5.10 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo del proyectil es de 5.10 segundos