Prueba que si "x≤y" y "y≤x", entonces = x=y
Respuestas a la pregunta
Demostración x≤y" y "y≤x" ⇒ x=y
Para demostrar tal enunciado entonces lo que debemos saber es lo siguiente
- Debemos tener en cuenta que es una de las propiedades de los números reales
- Se le conoce como la relación antisimétrica
Se demuestra de la siguiente manera
Recurramos a la definición de ordenación
Dado dos números m y n ∈ R
Si
m ≤ n, existe un único k ∈ N / n = m + k
en resumidas cuentas significa que
Si se cumple que m ≤ n ↔ n - m = 0 ∨ n - m > 0
Si tenemos que
x ≤ y , existe un a ∈ N tal que y = x + a ....(β)
Si tenemos que
y ≤ x , existe un b ∈ N tal que x = y + b ......(Ф)
Por lo mencionado anteriormente
x ≤ y ↔ y - x = 0 ∨ y - x > 0
y ≤ x ↔ x - y = 0 ∨ x - y > 0
Sumamos las ecuaciones (β) + (Ф)
x + y = x + y + a + b
La cual obtenemos
a + b = 0
como a y b son naturales incluidos el cero entonces al ser números
naturales no pueden tomar a los negativos por lo que solamente quedaría
que a = b = 0
Remplazamos en (β) Reemplazamos en (Ф)
y = x + 0 x = y + 0
y = x ......Lq.q.d x = y .......L.q.q.d