propiedades y axiomas de los números reales por favor urgente
Respuestas a la pregunta
Resolución:
1.1 Axiomas de la suma :
S1. (x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z ∈ R.
S2. x + y = y + x para todo x, y ∈ R.
S3. Existe un elemento de R, denotado por 0 tal que x + 0 = x para todo x ∈ R.
S4. Para cada x ∈ R existe un y ∈ R tal que x + y = 0.
1.2 Axiomas del producto :
P1. (xy)z = x(yz) para todo x, y, z ∈ R.
P2. xy = yx para todo x, y ∈ R.
P3. Existe un elemento de R, distinto de 0, que denotaremos por 1 tal que 1x = x1 = x
para todo x ∈ R.
P4. Para cada x ∈ R tal que no sea cero, existe un y ∈ R tal que xy = 1.
1.3 Axioma de distributividad :
D. Para todo x, y, z ∈ R, (x + y)z = xz + yz.
2 Axiomas de orden :
Asumimos la existencia de una relaci´on ≤ que establece un orden entre los n´umeros reales
y satisface los siguientes axiomas:
O1. Si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y.
O2. Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z.
O3. Para todo x, y ∈ R, x ≤ y ´o y ≤ x.
SO. Si x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z para todo z ∈ R.
3 Axioma de completitud :
C. Si A ⊂ R, A 6= ∅, es acotado superiormente, entonces tiene supremo en R.
Teorema: (Arquimedianidad) Para todo x > 0 e y ∈ R existe n ∈ N tal que
nx > y.