Question

propiedades y axiomas de los números reales por favor urgente

Answer 1

Resolución:

1.1 Axiomas de la suma :

S1. (x + y) + z = x + (y + z) para todo x, y, z ∈ R.

S2. x + y = y + x para todo x, y ∈ R.

S3. Existe un elemento de R, denotado por 0 tal que x + 0 = x para todo x ∈ R.

S4. Para cada x ∈ R existe un y ∈ R tal que x + y = 0.

1.2 Axiomas del producto :

P1. (xy)z = x(yz) para todo x, y, z ∈ R.

P2. xy = yx para todo x, y ∈ R.

P3. Existe un elemento de R, distinto de 0, que denotaremos por 1 tal que 1x = x1 = x

para todo x ∈ R.

P4. Para cada x ∈ R tal que no sea cero, existe un y ∈ R tal que xy = 1.

1.3 Axioma de distributividad :

D. Para todo x, y, z ∈ R, (x + y)z = xz + yz.

2 Axiomas de orden :

Asumimos la existencia de una relaci´on ≤ que establece un orden entre los n´umeros reales

y satisface los siguientes axiomas:

O1. Si x ≤ y e y ≤ x entonces x = y.

O2. Si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z.

O3. Para todo x, y ∈ R, x ≤ y ´o y ≤ x.

SO. Si x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z para todo z ∈ R.

3 Axioma de completitud :

C. Si A ⊂ R, A 6= ∅, es acotado superiormente, entonces tiene supremo en R.

Teorema: (Arquimedianidad) Para todo x > 0 e y ∈ R existe n ∈ N tal que

nx > y.