Question

Progresiones geométricas.

1) Halla la expresión del término general y el valor del término a₂₀ de la siguiente sucesión.

1/2, 1/4, 1/8, 1/16,... en caso de que sea una progresión geométrica.



2) Escribe los 10 primeros términos de una progresión geométrica de razón r = 1/3 y
a5 = 2.


3) Calcula la suma de los 15 primeros términos de una progresión geométrica cuyo primero término es a₁ = 3 y cuya razón es r = 2

4) De una progresión geométrica se conoce a4 = 128 y r = 4. Calcula la suma de los 8 primeros términos.

5) De una progresión geométrica se sabe que la suma de los 10 primeros términos es
s₁₀ = 29524 y su razón, r = 3. Hallar el primero término.

6) De una progresión geométrica se conoce r = 2 y a8 = 768. Halla la suma de los 10 primeros términos.

Con procedimiento por favor. Gracias!!!!

Answer 1

En las progresiones geométricas (PG), cada término se obtiene a partir de multiplicar el término anterior por una cantidad fija llamada razón "r"

1) Si lo que nos dan es varios términos consecutivos de la progresión, simplemente dividiendo un término entre el anterior a él conoceremos la razón. En este caso:

a₁ = 1/2
a₂ = 1/4
$r= \frac{a_2}{a_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$

Igualmente, si divido... 1/8 : 1/4 = 1/2, por tanto la razón es 1/2 y efectivamente se trata de una PG.

El término general de cualquier PG se obtiene de esta fórmula:
$a_n=a_1* r^{n-1}$ ... sustituyendo el valor de a₁  y   r ...
$a_n= \frac{1}{2}* (\frac{1}{2})^{n-1} \\ \\ a_n=( \frac{1}{2})^n \\ \\ a_n= \frac{1}{ 2^{n} }$  

Como nos pide el término  a₂₀, diré que  $a_n= a_{20}$ y por tanto...
$a_{20} = \frac{1}{ 2^{20} }$
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2) Me dan dos datos.
Razón ... $r= \frac{1}{3}$
$a_5 = 2$

Acudiendo a la fórmula del término general se puede obtener $a_1$
$a_5=2 = a_1* (\frac{1}{3}) ^{5-1}$  ... despejando...

$a_1= \frac{2}{(\frac{1}{3}) ^{5-1}}= \frac{2}{ \frac{1}{ 3^{4} } }= 2*81=162$

Sabiendo el valor del primer término ya solo hay que ir multiplicándolo por su razón para ir obteniendo los siguientes hasta llegar al décimo.
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3) 
a₁ = 3
r = 2

Con el término general se puede calcular a₁₅ que será el término enésimo.
$a_{15} =3* 2^{15-1} =49152$

La fórmula de la suma de términos de una PG dice:
$S_n= \frac{a_n*r-a_1}{r-1} = \frac{49152*2-3}{2-1} =98301$
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4)
$a_4=128$
$r=4$

De nuevo acudo al término general para despejar a₁ ...
$a_1= \frac{128}{ 4^{(4-1)} } = \frac{128}{64} =2$

Calculo ahora el término octavo a₈
$a_8=2* 4^{(8-1)} =32768$

De nuevo acudo a la fórmula de la suma...
$S_8= \frac{32768*4-2}{4-1} =43690$
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5)
S₁₀ = 29524
r = 3

Aquí hay que usar las dos fórmulas a la vez para que nos salga un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Una será a₁ , que es el dato que nos pide solucionar, y la otra será   a₁₀

Fórmula de la suma:  $29524 = \frac{ a_{10}*3-a_1 }{3-1}$
Ahí tenemos una ecuación.

La otra sale del término general:  $a_{10} =a_1* 3^{(10-1)}$
Resolviendo ese sistema de ecuaciones se obtiene el valor pedido de a₁
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6)
Es similar al nº 4. Cógelo como modelo y resuelvelo.

Saludos.

Answer 2

Respuesta:

hall la expresión del término general y el valor del término 20 de la siguiente sucesión 1 sobre todos 104 1 sobre 8 y 1 sobre 16