Question

PROCEDIMIENTO, POR FAVOR. RESPUESTA: 4)

Answer 1

Tarea:

Trabajo de geometría.

En la figura adjunta, ABCD es un cuadrado de área 1 cm².

P y Q son puntos exteriores al cuadrado tales que los triángulos ABP y BCQ son equiláteros, entonces el área del triángulo PBQ corresponde a...

Respuesta:

Opción nº 5)  1/4

Explicación paso a paso:

Ante todo debo avisarte que tal como has subido esta tarea no es correcto porque no indicas nada de la temática de la misma en el texto y eso siempre debe hacerse. No vale solo con la foto.

Ahora vamos a deducir cosas.

De momento, si el cuadrado tiene 1 cm² de área, está claro que mide 1 cm. de lado, ok? Ya que el área es el lado al cuadrado y  1 cm. × 1 cm. = 1 cm²

Por tanto ya sabemos que el lado BC (común al cuadrado y al triángulo BCQ) mide 1 cm.

También sabemos que el lado BA (común al cuadrado y al triángulo BPA) también mide 1 cm.

También sabemos que los lados de cualquier triángulo equilátero miden lo mismo así que podemos decir que:

BA = BP = PA = BC = BQ = CQ

Tenemos entonces que en el triángulo cuya área nos piden (PBQ), se cumple que:  

BP = BQ  (lo que implica que dicho triángulo es isósceles)

Y el ángulo PBQ mide la diferencia entre el ángulo completo de la circunferencia (360º) y la suma de los ángulos PBA, ABC y CBQ de los cuales, los correspondientes a los triángulos equiláteros miden 60º .

Nota aclaratoria: el equilátero tiene tres ángulos iguales que miden 60º cada uno ya que sumados nos dan 180º que es lo que mide la suma de ángulos de cualquier triángulo.

Así pues tenemos esto:

∡PBQ = 360 - (PBA + ABC + CBQ) = 360 - (60+90+60) = 360-210 = 150º

Recurro ahora a la ley del coseno que dice: $a^2=b^2+c^2-2ab*cos\ A$

Doy nombres a esa fórmula según lo que se ve en el dibujo:

• Lado a = Lado PQ
• Lado b = Lado PB = 1 cm.
• Lado c = Lado BQ = 1 cm.
• Ángulo A = ∡PBQ = 150º  cuyo coseno al tratarse de ángulo notable puede representarse como el cociente:  $-\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

Sustituyo en la fórmula:

$PQ^2=1^2+1^2-2*1*1*-\dfrac{\sqrt{3} }{2}\\ \\ \\ PQ^2=2+\dfrac{2\sqrt{3} }{2} =2+\sqrt{3} \\ \\ PQ=\sqrt{2+\sqrt{3} }$

Fíjate que el triángulo para el que nos piden el área (PBQ) es isósceles ya que los lados PB y BQ son lados de los equiláteros.

Conociendo la base de ese triángulo PBQ que acabamos de calcular, sólo queda usar Pitágoras para calcular la altura que sale del vértice B hasta la mitad de lado PQ.

La mitad de ese lado será:  $\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$

Esa mitad será el cateto mayor y la altura que buscamos será el cateto menor siendo el lado BQ la hipotenusa así que despejo el cateto menor:

$c=\sqrt{1^2-(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2})^2}= \sqrt{1-\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}$

Se aplica la fórmula del área del triángulo:  Base × Altura ÷ 2

$A=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3} }*\sqrt{1-\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}}{2} =\dfrac{\sqrt{(2+\sqrt{3})*\dfrac{4-(2+\sqrt{3})}{4}}}{2} =\\ \\ \\ =\dfrac{\sqrt{(2+\sqrt{3})*\dfrac{2-\sqrt{3})}{4}}}{2}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{4-3}{4}}}{2}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{4} } }{2}=\dfrac{\dfrac{1}{2} }{2} =\dfrac{1}{4}$

Saludos.