Question

Problema
Una partícula se mueve a lo largo de una recta que tiene velocidad v(t)=t^2 e^(-t) metros por segundo, después de t segundos. ¿Cuán lejos llegará durante los primeros t segundos?
Instrucciones adicionales
1.- El problema deberá ser resuelto por 2 métodos de integración:
Método de integración por partes: ∫udv=uv-∫v du.
Método tabular de integración: dicho método debes investigarlo y aplicarlo al problema.

2.- Debes comparar las soluciones por los dos métodos de integración y llegar a una conclusión.
3.- Solo se requiere la solución única que resulta de la aplicación de los métodos de integración, y no una sustitución en la misma en un tiempo cualesquiera.

Answer 1

Función desplazamiento X(t) = (t² + 2t + 2 )e⁻t + k

Explicación paso a paso:

Sabemos que el área bajo la curva de la velocidad nos da como resultado el desplazamiento, por eso al integrar en función del tiempo obtendremos el valor:

Colocamos x en vez de t (por facilidad de comprensión)

∫x²e⁻ˣdx

Método de integración por partes

u = x²  ;  du = 2xdx

dv = e⁻ˣ dx ;  v = -e⁻ˣ + k

x²e⁻ˣ - ∫-e⁻ˣ 2x dx

u = 2x  ;  du = 2dx

dv = -e⁻ˣdx  ;  v = e⁻ˣ + k

x²e⁻ˣ + 2x e⁻ˣ - 2∫e⁻ˣdx

x²e⁻ˣ + 2x e⁻ˣ + 2e⁻ˣ + k

(x² + 2x + 2 )e⁻ˣ + k

Método tabular de integración:

Este método consiste en derivar las funciones polinomios hasta llegar a cero, y a su vez integrar las funciones trascendentes tantas veces como se derivo la otra función

u = x²

v = e⁻ˣ

                 e⁻ˣ

x²      (+)    -e⁻ˣ

2x      (-)    e⁻ˣ

2        (+)   -e⁻ˣ

0          

x²*-e⁻ˣ - 2x*e⁻ˣ + 2-e⁻ˣ + k

(-x² -2x -2)e⁻ˣ + k (-1)

(x² + 2x + 2)e⁻ˣ + k

El método de integración tabular es un variante de la integración por partes y se aplica a integrando que son el producto de dos funciones p(x), una debe ser polinomica y la otra cierto tipo de funciones trascendentes T(x)